一道初中数学试题的来路、思路、去路
2022-10-17程永超
程永超
(江苏省常州市花园中学,江苏常州,213000)
一道好的试题不仅在内容上能够检测学生对核心知识的掌握情况,还能考查学生运用数学的思维及分析、解决问题的能力.在此基础上,形式优美,体现一定的原创性,则效果更佳.本文记录了一道试题的来路、思路、去路,希望通过这个实例,说明命题编制的一些方法与技巧,敬请同行们批评指正.
1 命题来源,定性分析到定量确定
在平面内,给定一个点、一条直线,我们能画出该点关于这条直线的对称点,如图1所示.
图1
思考一:如图2,如果把点A跟直线BC放在平面直角坐标系中,能否求出对称点A′的坐标呢?
图2
图3
给定点A的坐标、直线BC的解析式,对称点A′是唯一确定的,所以坐标是可求的.
求法一:如图2,设点A′(x,y),考虑到线段AA′被直线BC垂直平分,所以KAA′·KBC=-1,AA′的中点坐标符合直线BC的解析式,从而得出x,y的方程组,求出x,y的值.但是两条直线互相垂直,能满足KAA′·KBC=-1,这不在初中数学学习的范围里.
求法二:如图3,直线BC与x轴的交点P是已知点,则线段AP的长度、∠APB的度数都是已知,所以可以根据三角函数求出点A′的坐标.但即使∠APB的度数是已知的,但一般来说,不会是一个特殊的度数,所以,在初中数学范围内,知道点A′是已知的,但不好求.
思考二:在初中数学范围内,怎样调控一下,使得对称点A′的坐标容易求些?
1.1 一般的直线+特殊的点
图4
图5
1.2 特殊的直线+一般的点
1.3 特殊的直线+特殊的点
图6
图7
图8
图9
据此,图5中的计算,将点P的轴对称理解成是Rt△PQO的轴对称,构造K型相似,可求点P′的坐标,如图9.但此类计算总归会涉及到相似、无理数的计算,鉴于数学试题“多想少算”的原则,能否将特殊角改成45°呢?
如图10,点O的对称点O′(2,-2),点P(-1,0)的对称点P′(2,-3),点Q(1,2)的对称点Q′(4,-1).可以发现,当特殊角改成了45°,不仅运算量小,而且“水平”线段,轴对称成“铅垂”线段;“铅垂”线段,轴对称成“水平”线段.那么,一般的直线,关于直线y=x-2轴对称之后,有什么特殊之处吗?
图10
图11
如图11,由三角形的外角定理知:∠APB=45°-∠PAB,所以∠PCD=2∠APB+∠PAB=90°-∠PAB,则∠PAB+∠PCD=90°.
2 试题编制,关注核心本质、整体关联
思考三:试题该如何编制,既要考查学生的核心素养,还要注重试题的整体关联?
2.1 动态化处理[1]
将对称轴沿x轴平移,与x轴的夹角依旧是45°.这样,上述发现的一系列性质(“水平”线段,轴对称成“铅垂”线段;“铅垂”线段,轴对称成“水平”线段;一般的直线,轴对称之后,与x轴所夹锐角之和为90°)依旧成立.
2.2 搭好“脚手架”,直击核心本质
作任意一条直线的对称直线,如果不考虑其它限制的话,只要找到两个点的对称点即可(图1的方法).但为了让学生感受到上述性质,将直线放入方格纸中,仅限无刻度的直尺来作图.学生必将找格点的对称点,就能在解题的过程,领悟性质,并将领悟到的性质加以运用.
2.3 注重试题的整体关联
在新的问题情境中,为了考查学生的思维视野,能否将领悟到的经验、思维方法迁移到新问题的解决中,通过大任务渗透大观念.按点、线、面的变换线索呈现[2],加强试题的关联度,调整后形成如下试题.
2.4 试题呈现
图12
如图12,动直线l:y=x-b与x轴交于点A,对于平面内一点P,我们可以作点P关于直线l的轴对称点P′,我们称点P′为点P的“斜对称点”.类似地,我们可以得到“斜对称直线”“斜对称三角形”等等.
(1) 如图12,请直接写出点O关于直线l的斜对称点O′的坐标(用b的代数式表示);
(2) 如图13,动直线l:y=x-b与x轴、y轴分别交于格点A、格点B,直线l1与x轴交于格点C,交y轴于点D.仅用无刻度的直尺,作出直线l1的斜对称直线l2;并记直线l2与x轴所夹的锐角为α,证明α+∠DCA=90°;
图13
图14
3 编后反思,素养立意、强化数学思考
思考四:试题后续的研究.
在试题的第三问中,考虑到难度的控制,只考查了“水平”线段的斜对称线段.如果继续试题的后续研究,我们可以增加试题的综合性.比如,斜对称△C′O′B′与△OBC的外接圆相切,求b的值.尤其是,斜对称线段C′B′与外接圆相切的说理,可以跟第二问的证明遥相呼应.
思考五:注重数学思考,渗透大观念.
试题的命制既要注重对数学基础知识、基本技能的考查,更要关注学生对数学观念(数学思维方式、数学思想方法)的领悟与迁移.所以,在日常的数学教学中,渗透从简单到复杂(点、线、面上的图形结构依次复杂、从静到动),从特殊到一般等研究问题一般方法.通过基于问题学习、任务性学习,让学生不仅知道“怎样做”,还要明白“为什么怎样做”.