源于课本的“点关于直线对称”的探究

吴银生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）07-0117

【课本溯源】必修2第144页复习参考题A组第7题

求与圆C：（x+2）2+（y-6）2=1关于直线3x-4y+5=0对称的圆的方程。

在解析几何中，我们经常遇到求某定点关于某定直线的对称点问题，比较常规的解法是利用该直线就是这两点所连线段的垂直平分线，借助“互相垂直关系”与“距离相等关系”列方程组解题，而“距离相等关系”又可转化成“中点在直线上”的问题。

在求“点关于直线对称”的问题上，还有其他更加简便的方法吗？我们不妨从一个简单的例题出发去剥开“点关于直线的对称点”的内在本质。

例如：求点M（2，1）关于直线l：x-y+1=0的对称点N。

方法1：（常规法）不妨设N（x1，y1），则M、N中点P（■，■），

故■-■+1=0■·1=-1 x1=0y1=-3，即N（0，3）

“直线互相垂直”又可转化为“向量互相垂直”，故可得到以下一种替代方法：

方法2：（向量法）在直线上l任取两个不同的点A、B，不妨设A（0，1），B（-1，0）则■⊥■，又■=（-1，-1），■=（x1-2，y1-1），则■·■=-（x1-2）-（y1-1）=0

今天，我们要探讨的问题是，除了上面的这种方法外，这类问题还有简便的方法吗？

在人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1的《基本初等函数》章节中，我们以指数函数y=ax与对数函数y=logax为例，提及了“反函数”这个概念，并指出“互为反函数的图像关于直线y=x对称”。例如：点（2，1）关于直线y=x的对称点为（1，2）。实际上，我们在这里运用的是一种“代入”的思想，即将x=2代入方程y=x得到y=2，这就是对称点的纵坐标；将y=1代入x=y得到x=1，这就是对称点的横坐标，故得到对称点为（1，2）。运用这种思想，我们的问题得到了进一步解决。

方法3：（代入法）将点（2，1）中的x=2代入方程y=x+1，得y=3；将y=1代入x=y-1，得x=0，故对称点的坐标为N（0，3）。

如果上述方法对于所有的对称性问题都能解决的话，那无疑将会非常简便。但随着进一步的深入研究，我们很快发现，这似乎只是一种巧合、一种偶然，并不是所有的点关于直线的对称点问题都可以这样简便地予以解决。例如：求点C（-2，6）关于直线3x-4y+5=0的对称点D，若用“代入法”，则求得D（■，-■）；若用“常规法”，则求得D（4，-2），显然“代入法”并不是万能的，它并不适用于所有的直线方程。那么，“代入法”应该满足怎样的条件才能大显神通呢？

如果“代入法”能用，那么它与“常规法”应该有异曲同工之妙，至少得到的对称点的坐标应该一致。出于对这点的考虑，我们予以以下证明：

【拓展探究】

例：求点M（x0，y0）关于直线Ax+Bx+C=0的对称点N（x1，y1）。

证明1：（代入法）将x=x0，y=y0分別代入直线方程，得：N（-■y0-■，-■y0-■）

证明2：（常规法）设M、N中点为P，则P（■，■），KMN=■

解得：N（■，■）

若可以用“代入法”，则应有以下式子成立（利用待定系数法）：

-■y0-■=■-■x0-■=■ A2=B2，即k=-■=±1。

从上面的推导过程中，我们可以得出以下结论：

定理：点M（x0，y0）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点N的坐标为（-■y0-■，-■x0-■）的充要条件是直线l的斜率k=±1。

证明：（数形结合）斜率k=±1，意味着倾斜角为45°或135°，如图，不妨设直线l的斜率k=1，设点M（x0，y0）关于直线l的对称点为N，作MP∥轴交于点P，作MQ∥轴交于点Q，则MQNP为正方形，所以P（x0，-■x0-■），Q（-■y0-■，y0），即点N的坐标为（-■y0-■，-■x0-■）。

（作者单位：浙江省温州市第八高级中学 325000）endprint