浸润数学文化课堂，汲取学科核心素养——《圆的周长》教学实践与思考

周婷婷

(南京师范大学附属中学江宁分校，江苏南京，211100)

数学，是科学的语言与工具，也是人类文化历史的重要组成[1].在新课程标准不断引领下，数学文化更多地融入教学，致力实现课程目标和育人目标.在小学数学课堂教学中，由于学生的年龄和认知所限，更需教师精选学习素材，引领学生逆流踏寻新知识构建的历史足迹，感受新知识创新的原始动力，经历新知识创生的艰难过程，领略数学独特之美，认同数学知识对生活的重要作用，从而激发学生学习数学的真兴趣；带领学生顺流而下应用新学知识解决生活问题，并为创新和创造行为打下现实基础.

数学文化史是小学数学课程与教学内容的重要组成，也是小学数学课堂教学走向深度教学的新切点，“你知道吗？”“生活中的数学”“实践课”是数学文化的显性形式； 数学概念、数学规则、探究历程、科学信念是数学文化的隐性形式[2].教师深挖教材文化的厚重历史，重组课内外素材，构建数学文化课堂，学生在数学文化浸润中走近过去和现在的数学核心素养，发现基本数学规律，学会从数学角度解决问题，会用数学思维思考现实问题，会用数学语言表达实际问题.

以《圆的周长》教学实践为例，课标要求聚焦学生发展核心素养，凹显学生主体地位，遵循学生身心发展规律，促进学段衔接.学生经历图形的认识与测量过程，感受意义，理解圆的周长，感悟数学方法，形成量感和推理意识，增强空间观念和应用意识.圆的周长教材地位以苏教版五年级下册《圆的周长》一课为例，圆的周长在小学图形与几何领域中有着举足轻重地位，是学习六年级圆柱和圆锥的知识基础，也是中学几何图形学习的重要基础.明确圆在第三学段不同年级知识发展层级要求，把握五年级下学期对应的具体阶段目标：

(1) 学生在操作和数据分析中经历圆周率的探索过程，理解圆周率的意义，掌握圆周长的公式，能运用圆周长公式解决一些简单的实际问题.

(2) 培养学生的观察、比较、分析、综合及动手操作能力，发展学生的空间观念.

(3) 结合圆周率的学习，对学生进行学科兴趣培养和爱国情感教育.

探索构建小学数学文化课堂的基本策略，尝试让数学知识流向思想，再从思想生成核心素养，为学科育人目标打下数学的独特基础.

1 课前搜集文化素材，踏寻知识创生之路

《圆的周长》前置学习任务：设计一张表格，条理清楚体现国内、国外圆周率研究的历史，注明年代、研究者及其研究方法.三个要求：国内圆周率研究最为突出的研究者和研究方法请重点标注；国外圆周率研究最为突出的研究者和研究方法请重点标注；你自学了哪几种圆周率的计算方法？标注“√”并写出过程.前置学习任务完成路径：查阅电子资料、纸质资料、和家人讨论再整理为表格.

教师本身的数学文化储备是学生数学学习的首层天花板，课前查阅《周髀算经》《九章算术》《几何原本》《海岛算经》中有关圆的资料；阅读电子核心期刊中有关圆的论文专著；在数学教研活动中请教专家把脉课堂设计，使得在数学文化课堂中，学生能够从多角度多层次认识圆周率，清楚看到圆的知识脉络系统化，清楚感受前置探索中的知识碎片结构化，真正掌握圆周率的含义和价值.

2 课上亲历文化创生，走近学科素养核心

数学文化课堂是学生在文化中走近本质的所在，学生通过不断揭开数学外在形式，寻得数学内在文化本质，徜徉知识发现和生长的历史长河，感受知识的创生和发展过程.圆周率含义探究过程中，学生在回顾化曲为直测量树叶曲线周长的过程中，明晰测量圆的思想方法以及操作步骤；学生在小组测量圆形周长和对应直径时速度快、误差小；小组数据记录员借助统计软件XLS电子表的统计和运算功能，及时记录每组周长和对应的直径长度；教师用手机西沃教师助手及时拍照，同时投屏四组数据，组织每组成员计算每个圆的周长和对应直径的和、差、积、商，观察四则运算的结果，直观发现周长和直径的和、差、积没有明显规律，借助条形统计图显示商的高度，直观看到周长和直径商的大小明显趋于相等，并且在3.1附近.在测量、计算、估算、统计组成的课堂第一阶段学习过程中，圆的周长和直径的关系从模糊走向定向，学生的经历正是圆周率在人类发展史中第一阶段的创生过程.圆的周长和直径的商具体大小究竟是多少？

图1

图2

学生对圆周率的研究，将由定向走向定值的过程，这个过程也是圆周率在人类发展史中的第二历史阶段.学生在小组内交流课前搜集的不同计算圆周率方法，欣赏视频及时补充笔记.在视频中学生能系统而具体地了解数学家刘徽、祖冲之、阿基米德的严谨推理，初步了解还有其他计算圆周率大小的方法：无限分割法、夹逼法、投针法、无穷数级法、微积分法……学生对圆周率的大小有了明确认识，周长和对应直径的商的大小，是一个无限不循环小数，无论圆的大小如何，圆周率都是固定不变的无理数，人们称为圆周率，通常用π表示，日常生活中，通常用3.14参与计算就能解决问题.至此，学生对圆周率的具体大小的创生过程有了科学严谨的认识：任何一个圆的周长(C)是对应直径(d)长度的π倍.圆周率常用近似值3.14解决问题；用字母来表示它们的关系就是C=πd或C=2πr；还可以推理出圆的直径：d=C÷π，圆的半径：r=C÷2÷π.学生尝试独立使用公式，正向思维能力培养练习：分别计算直径为10厘米，半径为2米的圆周长，组织学生对所用的公式进行重点分析；逆向思维能力培养练习：用一根绳子绕一棵大树的树干，量得结果是12.56米，这棵树的树干横截面的直径大约是多少厘米？对所用的公式和单位的变化进行重点讨论；结合公式应用的领域加固圆周长认识的知识结构.

追问问题：在我们测量的数据组中，你有没有发现直径有倍数关系的数据，对应周长的数据有什么关系？驱动学生思考大屏幕上测量数据，班级共识当π取常用近似值3.14，此时周长的数据进行对应调整，都是对应直径的3.14倍.部分同学发现半径、直径、周长的大小明显呈同步同倍变化，教师通过展示数据对应的条形统计图，学生都能直观发现半径、直径、周长的大小明显呈同步同倍变化的数学基本规律[3].根据这个数学基本规律用不同的方法解决数学问题：屏幕上显示的6个同心圆组成的雷达影像，最外圈是一个直径84厘米的圆.它的周长是多少？规律应用能力强的学生能根据自己的发现快捷解决问题，通过两种计算过程的比较，学生在巩固规律的同时学会优化思路解决问题.

图3

图4

圆的教学难点从来就在于周长、直径、圆周率，这三者都客观存在，但是圆周率是前两者的比值，看不见摸不着，有着先天抽象认识难度，构建通过系列文化托起圆周率的定向定值体验，让学生对圆周率的认识和理解直观入理，有效突破传统课堂的教学难点.这里通过条形统计图将数据之间的倍数关系直观化展现出来，对帮助学生开展圆的面积深度学习也具备教学价值，对学生也具备学习价值，学生迁移学习能独立发现面积、直径、半径的关联以及不同变化规律.

结合《圆的周长》课堂教学生成的板书，小组复盘课堂探寻过程，巩固探究收获.课堂机构以数学文化为线索，推进过程从模糊到精准，经历圆周率创生第一阶段是圆周率的定向过程：测量估算大小在3.1附近；创生第二阶段是圆周率的定值过程：精确体推理圆周率为无限不循环小数3.14159265……用π表示圆周率，常用3.14参与周长计算；应用实践阶段：圆的周长公式C=πd或C=2πr；圆的直径d=C÷π，圆的半径r=C÷2÷π，在公式应用中进行正向逆向思维解决实际问题的能力训练；圆周率取3.14时，观察数据培养捕捉数学基本规律的能力：圆的周长和直径、半径的同步同倍变化[4].

学生沉浸数学文化课堂中，走近数学家的思维历程：批判中学习、在学习中内化、在内化中创新的探究精神与科学态度.课后尝试用自己简洁化、结构化的思维导图复盘新知识，构建自己的数学文化发展脉络、形成自己的科学探究精神.

3 课后练习渗透文化，供能数学素养生长

构建数学文化教学，课后与课前、课上保持渗透、继承、发展性，才能有效持续数学素养的沉浸、积淀、迸发.课后学习的成效，是文化课堂构建经验最薄弱的区域，课后作业切实需要教师明确布置配套的数学文化作业，对课堂文化发展脉络与历史背景进行清晰梳理；帮助学生巩固、内化课堂数学文化；课后练习的设计，既要基于前置学习任务和课堂学习，又要涉猎其他角度文化体验，增强学生圆的周长、面积的计算能力和推理能力，提升数感、量感、模型意识.

结合知识与技能、过程与方法的练习，精选《圆的周长》课外补充作业“了解弗朗索瓦维特的圆周率计算公式，计算约翰沃利斯计算圆周率的公式”.通过课后补充作业，引领学生进入圆周率计算的第三阶段，第四阶段微积分只要学生知识储备充足，定能主动探索，而第五阶段计算机计算圆周率的原理就是微积分.结合知识与技能、过程与方法的练习，精选补充练习通过圆的面积学习，课后观看视频《科技FANS》了解我们阅读过的刘徽的割圆术求出圆周率，采用割圆术计算出周率的大小.

在小学数学文化课堂学习过程中，以发展学生数学核心素养为育人靶向，以发挥教师与学生的主体能动性为情感靶向，以数学文化深化教学内容、变革教学方式、创新意义生成为知识靶向，数学文化为线索贯穿小学数学课堂教学，促成数学学科素养生成[5].

4 基于数学文化课堂实践的教学思考

小学数学是义务教育的重要基础学科，承载着传授学科知识与技能、思想与方法的重要任务，还承担着情感、态度价值观的传承责任.小学数学教师自身的学科理念、专业知识、思维能力水平是数学文化在大数据时代小学数学课堂改革中的学科素养生成的关键，根据教学实践过程，聚焦数学文化课堂的课时教学安排，有以下教学思考.

4.1 课前学习任务，不只是难点分解

教师在备课时进行教材解读，对“数学文化”“教学内容”“课程资源”的关系深度分析，找到突破教学重点和难点的策略；忌过于追求知识点的加速习得，急于通过联系促进灵活应用，受制于教学时间紧任务多，贪用圆的周长和面积公式强记掌握的形式，虽然强记后也可通过乘除法的原理推导各种公式，也能通过练习促进公式的灵活应用，使得解决问题的能力得到扎实的提升，但是学生并不了解圆周率从模糊范围到精准大小的艰难，从测量操作到精准推理的成就之路，知识就是无源之水，无根之木.因此，前置学习任务不能只是重难点的分解，更是教学和育人的好时机.确实，由于文化历史的丰富和方法的多样，课堂上势必会占用很多课堂时间，使得计算练习的比例有所下降，正因为如此，课前文化背景的探索也是对转化为学习生产力的一种调和.

4.2 课堂知识探究，不应是流于形式

在大数据时代的小学数学教学中，教师在纸笔教学、数学信息化教学对学生的数学思维训练十分重视，而对于数学的文化育人价值常常被轻视，往往使得数学文化在小学数学课堂教学实践中处于一种“若隐若现”的状态，一段朗读、一幅图片、一个故事浮光掠影式处理，停留在“过程中引介，在结果上了解”的模式.以苏教版第95页《你知道吗？》为例，其中阿基米德的夹逼法和教材新授求圆周率的简单模型是前后呼应的素材；刘徽的割圆术并没有展开阐述，割圆术在教材的周长和面积新授中都无法开展教学，因为大大超出学生的算法范畴；祖冲之如何将圆周率精确到小数点后7位的计算方法已经失传，因此，教师对教材提供的《圆的周长》文化背景进行年代和方法结构化梳理，考虑选择适合学生的夹逼法作为推理的立足点，才能让学生在文化课堂中真正收获知识和素养.特别地，因为几何画板和Geogebra已经默认圆周率的准确数值，因此不能在探究圆周率的过程中使用这些教学辅助工具，以防误导学生本末倒置，只有当学生经历圆周率测量估算和推理精算之后，才能作为观察和求解圆周长和面积的教学辅助工具，达到事半功倍的学习效果.

4.3 课后练习设计，不只有知识技能

多年来教师和学生对课后练习的认识是以练促通，熟练解决变式问题，非常重视课后练习对课堂遗憾的弥补功能，对课堂知识的巩固功能，对课堂知识复杂应用的拓展功能.小学数学文化课堂的课后练习，尝试结合传统的巩固提高功能，重视用文化底色促进知识理解和应用，将课后练习从“表层化”知识操练场，转变为“意义性”思维模型场.

因此，前置学习任务不全是提前分解教学难点，重在初步独立感知知识的由来，积累数学独立探究的经验；课堂探究和总结活动重点组织学生重走数学知识的创生过程，从数学家的思想和策略获得启发；精心设计课后练习，和课前课上保持文化主题一致性，持续保持学习兴趣的力度和稳定性.

在小学数学文化课堂中供能数学核心素养生长，可以借鉴的经验并不丰富.一方面，教师需要继续潜心钻研文化和练习的配比，另一方面教师需要潜心钻研现代信息技术的效能，助力文化课堂在有限时间内的有效育人功能，突破传统教学中符号式“表面、表层、表演”的学习状态，开展对知识进行“深层、深刻、深度”的意义式深层学习.带领学生走近数学家们发现问题的敏锐时刻，数学家解决问题的严谨态度，数学家品鉴数学的独特美感，激起学生追求数学的自觉、自主、自由性.提供学生和数学家“对话”的时空，和数学家思想“共鸣”的时刻，和数学家精神“共情”的能力，推动学生离数学核心素养近一点，汲取数学核心素养，功能个体数学核心素养的生长.