化错教学理论对高中数学教学的启示

汪冰冰

(南京师范大学数学科学学院，江苏南京，210023)

著名哲学家卡尔·波普尔说：“错误中往往蕴含着比正确更重要的发现和创新因素”，在课堂教学中，学生收获知识与教师精心的教学设计密不可分，但教师的预设并不能代表学生的思维过程，学生很有可能会在知识生成过程中出现偏谬，教师若能有效利用差错这类隐性课程资源，便会促进学生对知识的理解，甚至激发学生的创新能力.将课堂中的差错转化为教学资源这种教学方式称为“化错教学”，此教学方式由我国著名的特级教师华应龙老师提出.

由于国内外关于化错教学的研究多倾向于小学阶段，且在观摩高中数学课堂实录中发现教师在处理学生的差错时存在不当之处，因此本文拟结合高中数学课堂的特点与高中生的心理特征，探析数学课堂中化错教学的内涵、理论基础与其施教意义，并结合具体教学案例反思当前高中数学教学实践中拨正错误时存在的问题，进而希望能够提升教师的教学能力和学生的数学学科核心素养.

1 化错教学的内涵

1.1 内涵诠释

化错教学有三层要义[1]：一是错误应随机融入教学进程而非依赖于教师提前设计；二是重视差错的教学意义而非一言以蔽之；三是利用差错潜移默化影响学生的视误观.因此化错教学的内涵特征可概括为三点：(1)随机融入；(2)促进认知发展；(3)提升价值观.其中随机融入的特征易于理解，下面仅对化错教学要义的第二、第三层面进行阐释.

1.1.1 认知层面

皮亚杰的认知发展理论表明学习者认知水平的差异与学习阶段相关，教学要基于学生的认知水平搭建利于学生建构知识的平台，化错教学作为一种教学方式抑或是教学策略[2]也应如是.

从认知角度来看，任何一种教学进程都可视为“螺旋上升式”. 错误出现意味着学生已有的认知水平与解决问题所需的认知水平有距离，为纠正学生的错误认知，分析差错产生的原因、重新理解问题、再次解决问题等一系列教学活动都会被错误牵引出来，最终差错消除标志着认知发展.此外，化错教学肯定差错存在的合理性，挖掘差错的意义将会丰富课堂教学资源，对于学生的认知发展来说是锦上添花.

1.1.2 价值观层面

教育具有德育功能，数学教育作为教育的子类具有独特的育人价值[3].调查研究表明多数学生以二元对立的观点看待错误[1]，将错误与“失败”“丢脸”等消极词汇联系起来.因此化错教学作为一种以错误中的合理成分为教学起点的教学方式，可以帮助学生树立正确的视错观，培养学生求真求实的品质.

1.2 内涵辨析

课堂中出现错误是正常普遍的现象，通过文献检索发现针对错误进行教学的方式主要有纠错教学、示错教学、化错教学，辨析它们内涵的异同对于深刻理解化错教学、判别教学方式是有帮助的.不同研究者对示错教学的涵义有不同界定[4，5]，一种定义方式与化错教学无异，另一种定义方式能够明显区分二者，本文采用有区分度的示错教学的定义.

课堂中犯错的主体可能是学生也可能是教师，出现错误的方式可能是有意也可能是无意.图1表示了三种教学方式的区别与联系.其中示错教学与其他两种教学方式区别较大，它是指教师基于教学经验和学情分析，将学生易出现的错误设计在教学过程中，以引发学生思考、讨论，最终改正错误[4].此种教学方式属于教师有意提前在教学设计中融入错误，这与化错教学的随机融入截然不同.

纠错教学与化错教学的涵义相差不远，二者最大的区别之处在于是否发现错误中的合理成分后生成教学资源.纠错教学关注的是错误的认知，是以消除错误、强调正确认知为导向的[6]，这种教学方式会在短时间内起到强化正确认知的作用.而化错教学能够发现错误中的合理成分，并以此作为契机引导学生进一步探究、思考.

图1 三种针对课堂错误教学的方式

2 化错教学的理论基础

西方的理性批判主义思想为化错教学提供了哲学基础，使得人们能够辩证地看待错误.弗洛伊德的错误心理学认为错误的发生并不是偶然事件，必有其原因与意义[7]，这一学说铺设了化错教学的心理学基础.除此以外，下述理论也为化错教学在教学意义上提供了丰富的理论基础.

2.1 产婆术

产婆术是古希腊哲学家苏格拉底为寻求普遍知识而发明的对话方法，以期在连续问答过程中，不断激发学生的理性思考.产婆术有两项重要原则：“使自以为知者知其不知”和“使自以为不知者知其所知”[8].联系化错教学的内涵来看，可以说产婆术是化错教学最早的雏形.学生的错误解答是有缘由的，且很有可能学生认为自己的思考是正确的，此时教师不应快速批驳学生的答案，而应通过反问、追问等理答方式或组织学生讨论使学生逐步明晰症结，这与产婆术的“使自以为知者知其不知”原则吻合；在明确错误后，教学自然转入化解错误阶段，教师根据学情通过连续的引导性提问辅助学生找到错误原因与解决办法，这一阶段符合产婆术的“使自以为不知者知其所知”原则.

产婆术还有一个关键的对话艺术是教师处于“无知”的状态，即在探讨过程中教师应以学习的态度与学生对话而不是以师者传道的角色灌输自己的观点[8].化错教学中教师更多起到的是导引作用，寻错、化错的过程应由学生自主探索，为使学生深度思考，教师应装作“不知所以然”反问学生的思路来源或思考依据，围绕学生思维中的偏颇之处追问下去，推进思考进程，这样教学才可达到化错的深度而不仅仅是纠正错误.

2.2 认知负荷理论

从认知心理学层面来看，已有研究者指出数学错误与问题解决过程中认知资源及其工作记忆容量的有限性相关[9]，这为学生在学习过程中出现错误给予了合理的解释.认知负荷包括外在负荷、内在负荷、有效负荷三个基本成分，教学设计应遵循降低外在、内在负荷和增加有效负荷的原则.且有效负荷主要来源是学习者自身，因此唤醒学习者的认知投入是增加有效负荷的关键[10].化错教学的精妙之处在于生成新的教学资源融入后续教学过程，即有新教学资源的生成，学生的认知投入也会增多，产生实质性的认知操作活动，利于学生构建更为完整的知识图式，达到增加有效认知负荷的目的.

3 高中数学课堂化错教学的施教意义

3.1 提升数学思维品质培育理性精神

课程标准在描述课程性质时指出：“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用”[11]，这表明了数学教学的本质目标和教育价值.化错教学将错误看作一种教学资源，旨在从学生的认知现状出发，通过师生之间的对话或数学活动促进学生反省，而反省恰是理性思维的外在表现之一.美国教育家杜威在《思维与教学》一书中说：“反省的思维是对于问题反复而严正地、持续地思考的一种过程”[12]，这启示教学要能够围绕一个点深度思考，而不应过度追求完成既定的教学任务.

同时化错教学能够提升数学思维品质的各方面，对于错误的审视和分析表现出思维批判性、严谨性的特征，且错误与正确背后涉及的是知识的内在联系或区别、思想方法的异同，这使得学生在化错教学中思维的广阔性、灵活性也能够得到锻炼，关于思维的“独创性”，或者当前关注的热点“创造性思维”，华应龙老师更是指出“没有‘化错’何来创新”[1]，化错教学肯定差错的价值，能够激励学生大胆尝试，在错误中开辟新思路.

就教学内容而言，高中数学与初中数学有着明显的差别.高中数学知识密度与知识难度陡增，对学生的思维品质提出了更高的要求；高中数学更加强调理性思维，而非简单的感性认识[13].鉴于此，化错教学更应作为一种有益的教学方式在高中数学课堂中发挥价值.

3.2 优化评价方式摆脱题海战术

课程评价是数学教育中的一项重要内容，高中数学课程标准指出“只有通过观察学生的学习行为和思维过程，才能发现学生思维活动的特征及教学中存在的问题，及时调整学与教的行为，改进学生的学习方法和思维习惯”[11].化错教学以过程性学习为导向，不拘泥于标准的教学模式，当学生的思维出现偏差时能够围绕问题展开教学，这实际是对学生的思维活动做出及时的过程性评价.

强调过程性学习而非结果的识记是数学教育不懈的追求，这一点也愈发体现在考试评价中.高中数学概念、公式、定理繁多，多数考生选择刷题这一战略应对考试，但题海战术无法提高学生的数学认知理解水平，反而会起到阻碍作用，而且学生无暇反省自己的学习[14].正如波利亚所说：“教师在课堂上讲什么固然重要，然而学生想的是什么则更加千百倍的重要”，学生对数学知识的理解反馈到教师主要是通过两种途径：作业批改和课堂问答，且作业批改中发现的问题也会在课堂上讲解，如若教师提供的是精准化教学，即能将学生的错误作为教学资源，那么教学就会变得高度有效.鉴于此，化错教学的合理应用能够使得学生深度理解学习内容，聚焦学生思维上的偏颇之处，感悟数学学习中的思想本质，让学生能够反思自己在已学习内容中存在的问题，而不是一味地追逐做题数量，摆脱盲目的“题海战术”.

3.3 缓释数学学习焦虑促进良性循环

就高中生心理特征而言，数学学习焦虑是目前多数高中生面临的心理难题，数学学习焦虑感一方面是高中数学学科的特点、内容性质引发的，也有一方面源于高中生的心理特征.高中阶段属于青年初期，他们有较强的自尊心，自我要求高，关注外界评价，往往会因为自己一时的失误导致对自己能力的怀疑，从而产生强烈的焦虑情绪[15，16].基于高中生的不良情绪特点，数学教师应在课堂中引导学生正确看待差错，培养学生数学学习的信心.化错教学肯定差错的合理性，学生在化错的过程中寻找到正确的认知，这使得独立人格较强的高中生能够摈弃错误可耻的观点、树立正视错误的勇气、锻炼求真求实的品质.

案例1：对数的概念

在学生说出：“2x=1、2x=2、2x=4……，x等于多少”一系列问题的答案后，教师提问：“如果2x=3，这里的x存在吗？”，学生思考一段时间后，教师请一位学生发表观点，该生答：“x不存在”，教师紧接着追问：“为什么不存在”，学生回答：“因为找不到”，此时教师理答：“哦，很好，因为找不到，好像确实找不到”，(停顿数秒)老师问：“找不到就是不存在吗？照这样看，在初中学习无理数时，我们刚开始也不能在数轴上找到无理数，那我就能说在数轴上无法表示有理数，是这样吗？”，生齐答：“不是”，师问：“哦不是，怎么找到的呢？”，生2回答：“无理数π是滚动圆周找到的”，师问：“那我们能不能用类似的方法找x呢？”，此时生1举手答：“我刚才的回答不对，我们作出y=2x与y=3的图象，此时x的值就是交点的横坐标”，教师对生1竖起了大拇指.

从此教学中可看出，教师对于学生的差错采取了化错的方式.面对学生的错误认知教师并没有急于反驳，而是询问学生思考的依据是什么，随后教师肯定了学生所犯错误的合理性(学生现有关于数的认知未能解决此问题)，随后教师用在数轴上找到无理数的学习启发学生，让学生顿悟数的存在性可从形上解决，深化了数形结合的思想.而且学生也没有因为差错感到气馁失落，主动承认错误并改正，教师采取鼓励式理答.

4 高中数学课堂解决错误的实践反思

基于对高中数学课堂案例的分析与相关研究，可以发现高中数学课堂中解决学生错误认知的教学存在偏颇之处，有待一线教师与研究人员进一步探索.

4.1 教师理答等待时间过短而转问过快

基于课时原因，高中数学课堂内容多、节奏快，面对学生出现错误的情况，教师担心深究学生的错误会妨碍课堂计划的完成，所以会急于拨正教学的指南针，这样学生还未来得及思考错误的原因就被紧凑的教学进程牵引着向前走.此外，根据古德和布罗菲开发的课堂观察量表[17]观察教师在化错教学中的理答方式，可以发现多数教师会采取转问的方式，即让其他学生延续此问题作答，采用转问的理答方式无可厚非，但过快的转问会抢占错误者的思考空间，同时还有可能挫伤错误者学习数学的自信心，在接下来的数学课堂学习中易产生紧张感.

在新知探索环节，学生往往会因为与以往的知识混淆不清、思维定势或者推理能力不足等原因出现错误，这个错误或许不是特别繁杂的，等待数十秒的时间学生就会自己反省过来，亦或者有些认知错误需要教师层层引导，转问过快会使得正确的答案快速烙入错误者的脑海中，学生反思的过程被压缩.因此，针对学生在探索环节出现的差错，教师应留给学生适当的自我倒嚼的时间，当然教师也可以通过简单反问、提示使学生更快洞悉错误的原因，确保数学课堂探究是过程性的学习而非结果的识记.

在解题练习环节，学生可能会因为疏忽限制条件、定理理解不透彻等原因出现错解的情况，此时若教师快速地转向其他学生提供的正确解法，有价值的错误资源被淹没，甚至使得犯错误的学生出现“今日做题多，明日仍多错”的学习困境.因此教师在讲解练习时应给予学生一定的自我反思时间，将学生的错误转化为教学资源，以辨析、正反对比、变式练习等揭示错误原因，而不是用正确的答案充斥学生的头脑.

4.2 教师理答语言艺术运用不当

在解决错误的教学中，教师理答语言艺术运用不当有两方面的表现：(1) 话语权过多.苏霍姆林斯基曾说：“任何一种教育现象，学生在其中越少感觉到教育者的意图，效果越好.”诚然，艺术需要适当的留白，课堂中教师理答的语言艺术也不例外[18].(2) 语气、语词不当.当学生出现错误时，教师惊讶、失望的语气和语词无形中会加重错误者的心理负担，因着紧张学生可能会大脑空白、无法有效思考.

教师话语权过多是讲授法的典型特征，讲授法固然可以解决错误，但讲授法是以教师为中心，是将教师的理解灌输给学生，学生只会“知其然而不知其所以然”，甚至相隔一段时间后会有复现错误的可能.究其原因，是因为在解决错误时教师的话语权过多，学生只是被动地接受而非主动地思考，没有达到深度学习的层次.教师可组织小组讨论或追问，学生发表观点后教师再引导补充相关知识或思想.

高中数学内容多、难度大且比较抽象，加上升学的压力，高中生在数学学习过程中比较敏感[11]，教师温柔善意的理答可以增加学生数学学习的信心.当学生出现错误时，教师可以站在学生的视角顺着学生回答，比如“哦，可能真没有解”“嗯，有道理”之类的积极性理答既肯定了学生回答中的合理成分，也缓解了学生的紧张情绪，这样，教师随后的引导才能有效调动学生的思考.

4.3 纠错过多而化错不满

随着诊断性教学与评价的深入开展，学生在学习过程中出现的错误得到了多数数学教师的重视，教师也会采取一些方式降低学生的错误率，如让学生整理错题集、错题评讲课等.但教师更多的是抱着防错、避错的心理揭示错误原因、强调正确答案，此时教学只达到了纠错的层次.华应龙老师说：“正确有可能是一种简单的模仿，但错误绝对是一种创新体验”，学生经历纠错教学后可能不再犯错，但也可能是习得了程序，通过模仿解决问题.著名的数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅仅是数学活动的结果”，在课堂中解决学生错误时，揭示误因、指明正确答案只属于数学活动的结果，而学生的错误在一定程度上反映了学生的思维过程，显然过程蕴含的信息量更多，教师若能洞悉差错背后的教学价值，采取合理的教学方式，那么教学就能达到“润物细无声”的化错境界.

案例2：函数的奇偶性

在该案例中，看起来教师快速解决了学生的错误，也让学生明白了错误原因是未注意到函数的概念，但教学只达到了纠正错误的层次.学生错误的背后蕴含着“函数f(x)是奇函数，则有f(0)=0”这一重要性质.若教师能够在纠错之后追加几组正反例让学生体会f(0)值的个数和数值对于一个函数、奇函数的影响，此时学生的错误就被转化为了教学资源，教学达到了化错的层次.

5 结语

高中数学课程改革以学生的数学素养为指导方针，关注学生的学习过程，强调学生自我构建知识，化错教学是满足这些要求的一个很好的教学方式. 应当指出的是化错教学全面考验了数学教师的数学教学内容知识(MPCK)，即化错教学不仅需要教师具备扎实的数学内容知识，也需要良好的教学法知识.达到化错的层次虽有一定难度，但它的教学价值值得所有数学教育工作者不断钻研.

本文探讨了化错教学的基础理论、化错教学对于高中数学课堂的意义，并结合具体案例反思了当前高中数学课堂教学中解决错误时存在的问题.但本文的思考只是初步的，对案例的考量还有待进一步深入，日后会结合更多教学案例修正、完善教学建议.