例析构造函数法证明不等式的六种策略

江苏省金湖中学 (211600) 刘 金

运用对相关函数求导证明不等式是近年来高考命题的一类热点题型，由于涉及许多导数问题中的解题技法，降低了解题的成功率，我们有不少同学都望而却步.此类问题的破题关键就是构造一个与待证不等式紧密联系的函数，然后运用导数运算的方法，研究该函数的单调性、极值、值域等性质，进而达到证明不等式的目的.本文以近几年高考题或模拟题为例，通过探索不同类型不等式的证明，阐述构造函数证明不等式的六种思考，供参考.

一、移项作差构造函数

评注：移项作差法是证明不等式的最常用的方法，而构造新函数是利用导数解决问题的重要手段，本题中，在导函数式大小时根据解题需要又采用了放缩的办法，并且再一次构造函数，最后才确定了大小关系，是一个难度相对较大的题目.

二、增添项后构造函数

评注：通过将待证的结论式变形整理，揭露了待证式的实质，也就是需要证明不等式f(x)

三、及时换元后构造函数

评注：在本题中，由于是证明两个变量的大小关系问题，通过换元，将两元变换成一元，这样降低了问题的难度，使之变成我们熟悉的、容易解决的问题了.

四、等价转化后构造函数

评注：在充分挖掘题目内涵的基础上，将待证的不等式进行转化、变形，使之等价变形为另一个大小关系证明的问题，然后再通过建立新函数轻松地解决了问题.

五、挖出同构关系后构造函数

评注：由于待证的不等式比较复杂，在分析、化简、变形的基础上，再经过换元处理，成功的找到同构关系，进而设新函数，成功地解决问题.

六、选择关键部分构造函数

评注：根据解题需要，对表达式中的一部分采用构造函数处理，也是一个重要的解题思路，这种求解方法的关键是精确替换，以起作用、易解决为替换原则.