隔板法解一类不定方程整数解的组数问题

浙江省嘉善第二高级中学 (314100) 鲁和平

高中学生在学习排列组合时，都会学习如何用隔板法解题，从而不可避免地遇到不定方程整数解的组数问题.由于此类问题变化很多，情形复杂，学生往往似懂非懂.如果我们从最简单的情形入手，拾级而上，环环相扣，就会掌握其内在规律.

一、回归原点

例1 方程x1+x2+x3+x4=12共有多少组正整数解？

评注：本题是隔板法最原始最基本的模型.把握两个必要条件：一是相同的元素，二是被隔板隔开的每一部分数目不小于“1”.充分理解这个模型，其它的类似问题迎刃而解.

二、迈开小步

例2 方程x1+x2+x3+x4=12共有多少组非负整数解？

评注：由“非负整数解”向“正整数解”过渡，只需换元.虽说只迈开了小小的一步，但给人的启发很大，后续变形都是稍作调整，如法炮制.

三、变更范围

例3 方程x1+x2+x3+x4=12满足“x1≥-1,x2≥3,x3≥-2,x4≥2”的整数解共有多少组？

评注：此题变形，只需把每个未知数的范围变为“大于等于1”就行了.突破此关，势如破竹.

四、变换关系

例4 方程x+y+z=2011满足x

评注：本题增加了限制条件“x

五、变更系数

例5 方程x1+x2+…+x99+2x100=3的非负整数解共有多少个？

评注：原来的不定方程的各个未知数系数均为“1”.本题虽说将x100的系数作了微调，但带来的影响是巨大的.分类讨论是主要办法.重在对排列数公式及组合数公式的深刻理解.

例6 求不定方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=21的正整数解的组数(2009年湖北省预赛第10题).

解：原方程即为(x1+x2+x3)+3(x4+x5)+5x6=21,令x1+x2+x3=x,x4+x5=y,x6=z，则x≥3,y≥2,z≥1.先考虑不定方程x+3y+5z=21满足x≥3,y≥2,z≥1的正整数解.因为x≥3,y≥2,z≥1,所以5z=21-x-3y≤12,则1≤z≤2.

①当z=1时，有x+3y=16，此方程满足x≥3,y≥2的正整数解为(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4);

六、变更形式

④当x1=3时，方程x2+x3+x4+x5=1的非负整数解的个数为4.

评注：除了变更不定方程各个未知数的系数，还可以变更未知数的幂.本题试着将x1的幂由“1”变为“2”.解决的办法是“分类讨论+隔板法”.

综上几例可见，不定方程整数解的组数求解问题是非常复杂的.本文只是例举了求解中常见的几种变更形式，但远未能窥全豹，也不可能得出一般性的结论.更多的是需要我们有“遇山劈路遇水架桥”的随机应变的能力.