MPCK视角下新教材“函数的概念”教学设计*

广东省惠州市惠阳区第五中学 (516200) 严 婷广东省惠州市惠阳区崇雅实验学校 (516213) 王瑞生

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式本质特征的一种反映，是一种数学思维形式.在实际教学中，正确理解且灵活运用概念，有利于学生掌握数学基础知识，发展数学抽象、直观想象等核心素养，真正落实“数学育人”.基于MPCK视角下的概念教学，解决了“教什么”“学什么”以及“怎么教”的问题，是深度学习下的有效教学.

1.教材分析

1.1 MK是数学学科知识，是指教师应具备的数学观念、学科内容知识、数学思想方法以及数学史等知识，就是“教什么”的问题.

追本溯源：了解概念的起源、背景及概念引入的必要性.“函数的概念”教学中展示生活中各种各样的运动变化现象，激发学生的学习兴趣.让学生利用初中的函数定义判断“y=2是函数吗？”，诱导学生不仅要关注对应关系，还要关注自变量、函数值的取值范围.另一方面让学生明白之所以要学习函数，是因为函数是刻画这些现象运动变化规律的模型.

由表及里：知晓概念的本质、内涵和外延，这是讲透概念的前提.高中函数概念的本质是非空数集间的对应，而非对应关系的表现形式，所以在选取问题情境时，涉及解析式、图、表等多种对应关系的呈现形式，让学生在“变”中抓住“不变”的本质.

融会贯通：抓住数学概念间的联系，掌握数学概念体系，帮助学生建立清晰、完整的知识结构.[1]“函数的概念”教学中让学生利用初中的函数定义判断两个量之间是否为函数关系，再通过追问引导学生不仅要关注对应关系，还要关注自变量、函数值的取值范围，最后让学生用集合与对应的语言重新描述一次函数、二次函数和反比例函数的定义，通过这样一个过程，让学生理解初、高中函数定义的区别与联系，从而完成知识的同化与顺应.

1.2 CK是有关数学学习的知识，是指教师在教学时应考虑到学生的心理特点、最近发展区、学习疑难点、学习动力、学习环境等多方面，就是“学什么”的问题.

函数的概念在初中已经认识几类简单的初等函数，对函数的概念有一定的感性认识.此外，学生在必修1第一章已经学了集合的知识，这也为本节课用集合和对应的语言描述函数的概念奠定了基础.但是学生不明白为什么初中学了函数的概念，高中还要利用集合的语言重新定义，而且高一学生现有的思维水平还不能很好的从具体情境中归纳概括出函数的精确定义.针对上述学情分析，将本节课的教学难点确定为：从不同情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数的概念，理解函数符号“y=f(x)”的含义.

1.3 PK是一般教学法知识，它包含教育观念、教育理论知识、课程知识以及教学知识这4个维度，主要是“怎么教”的问题.

函数概念教学中，首先由具体实例引入，提出问题，通过四个实例探究函数概念的本质属性，再由学生尝试语言叙述，抽象对应关系、定义域、值域等三要素，类比发现其共同特征，自主定义函数的概念，教师用严谨的数学语言归纳出精确定义，形成概念.利用函数的概念表述一次函数、二次函数、反比例函数，进一步掌握概念.在具体的教学过程中，按照“实例﹣共性一归纳﹣概念—应用”的认知规律呈现概念的形成过程，让学生形成新的概念图式.

2.教学过程

2.1 创设情境，温故知新

师生活动：展示火箭升空、水池蓄水、摩天轮旋转、气温变化等动态图片.

问题1 用函数运动变化的观点描述火箭升空.

追问y=2是函数吗？

设计意图：展示生活中学生熟悉的变化现象，一方面为了让学生感受到函数在实际生活中的作用，激发学习兴趣，并由此让学生回顾函数概念是从运动变化的观点来描述变量之间的依赖关系.初中的知识无法回答追问问题，从而激起学生的求知欲，同时让学生感受到初中函数定义的局限性和高中进一步研究函数概念的必要性.

2.2 类比分析，建构模型

展示教材中四个问题情境

问题2 请用函数定义的“变量说”描述问题情境1.

追问有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这种说法对吗？

师生活动：教师用集合和对应的语言进行示范性描述.

设计意图：从MK的角度，高中的函数定义侧重两个非空数集间的对应；从CK的角度，学生能用初中学过的知识判断、描述S与t的函数关系，但初中更多是强调变量间的对应.而且，要让学生自主探究发现函数概念的内涵及要素是十分困难的，因此这样设计既可以让学生体会到用集合语言和对应关系重新定义函数的必要性，又给出了用更高层次的数学语言抽象具体问题中对应关系的示范.

师生活动：教师用集合和对应的语言进行示范性描述.

问题3 问题情境1和问题情境2中的函数有相同的函数关系，你认为它们是同一个函数吗？

设计意图：从MK的角度，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致，那么这两个函数是同一个函数.虽然两个问题情境中的对应关系一致，但问题情境1中定义域为{t|0≤t≤0.5}，而问题情境2中定义域为{1,2,3,4,5,6}，定义域不同，所以它们不是同一个函数.从CK的角度，学生根据初中的函数定义可能会认为它们是同一个函数，所以设置此问题，一方面为了引导学生认识到自变量集合中的元素可以是连续的，也可以是离散的，另一方面，让学生进一步体会到函数的本质是两个数集的元素之间的对应，而用什么符号或形式表示是本质的，为后续归纳概括函数的本质特征奠定基础.

问题4 问题情境3中，当t∈{t|0≤t≤24}时，I的取值范围是B,试用精确的语言描述I与t的对应关系.

追问1 如果I的取值范围改为B1={I|0

追问2 如果I的取值范围改为B2={I|0

设计意图：从MK的角度，根据函数定义，只要对于集合A中的任意一个数x，按照某种对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应即可，其中集合B可以大于或等于函数值的取值范围.从CK的角度，学生在寻找I的范围时会遇到障碍，导致无法精确描述函数的定义，故设置上述问题串帮助学生突破难点.通过放大或缩小函数值的取值范围，引导学生思考是否符合函数的定义，旨在让学生进一步理解函数概念的本质是对应关系，同时，为后续让学生辨别函数值所在的集合和值域奠定基础.

问题5 根据表格给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，请仿照前面的方法给出精确的刻画.

追问如果B3={r|0

设计意图：从CK的角度，通过前面三个问题情境的分析，学生知道要给出函数的精确定义，需先找到自变量、函数值的取值范围以及对应关系，然后仿造着用集合的语言进行刻画，但对于用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断，学生会存在疑惑.所以设置上述问题引导学生思考，教师再适当讲解，使学生接受.另外，对于函数值所在的集合B3合理性的判断，可再次加深学生对函数本质特征的理解.

2.3 理解本质， 形成概念

问题6 上述4个问题情境中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？

设计意图：从MK的角度，函数的共同特征有以下几点：都包含两个非空数集，用A,B表示；都有一个确定的对应关系；尽管对应关系的表示方法不同，但对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的y与之对应.从CK的角度，学生能从这四个具体实例中归纳出函数的共同特征，但要形成函数的一般概念还存在一定困难，也难以理解符号f的含义，所以在教学中，教师可指出除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，统一用f表示对应关系，从而让学生明白引入抽象符号“f:A→B,y=f(x)”的必要性.让学生经历从具体实例中归纳、概括出函数的基本特征，从而用集合与对应的语言建立函数概念的过程，培养学生的数学抽象素养.

2.4 前后呼应，巩固概念

问题7y=2是函数吗？指出定义域，值域？

设计意图：从CK的角度，学生经历了概念的形成过程后，可判断出y=2是函数，它的定义域是R，值域是{2}.用刚学的知识解决课前提出的问题，首尾呼应，可让学生感受到数学的内在美.同时，帮助学生巩固函数的定义及三要素.

问题8 请用函数的定义重新认识一次函数、二次函数、反比例函数，如何表述这些函数？

设计意图：从CK的角度，学生已经学过一次函数、二次函数，知道自变量和函数值的取值范围，有利于用集合的语言重新描述函数定义，但在确定反比例函数的值域时，还存在一定困难，所以教师可先用一次函数作示范，再引导学生重新描述二次函数和反比例函数，以此来检验学生是否学会用集合和对应的语言描述函数关系，从而让学生在用新知识解释旧问题的过程中，明确概念的内涵，进一步体会初高中函数定义的异同，建立新旧知识的联系.

问题9 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.

设计意图：从MK的角度，构建问题情境，解释函数y=x(10-x)的对应关系，这是从抽象到具体的过程，也可以看成不同表示方式之间的相互转换.从CK的角度，学生可能不太明白题目意思，所以教师要引导学生分析这个函数的三要素，让学生进一步体会函数模型的广泛应用性，加深对函数概念的理解.

3 教学反思

3.1 三纲定本

深度学习《课程标准》、《教材》、《教师用书》，解决“教什么”的困惑.高中阶段，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要从具体问题出发，抽象概括出函数的一般概念，学会用集合与对应的语言刻画函数.本节课是学生进一步认识数学模型的重要过程，也是学生学会运用数学模型表述、思考和认识现实世界中蕴含的规律，学会数学表达和交流，发展数学应用意识和创新意识的过程.

教材选取的四个问题情境包含了解析法、图像法、列表法等多种表示方法，让学生丰富对函数的认识，加深理解对应关系的本质，更好的体会数形结合的思想.采用“归纳式”呈现教学内容，目的是落实以数学知识发生过程为载体进行“思维的教学”这一数学课程的核心任务.

3.2 学情生本

以学定教依据学生的学习发展规律、知识认知、学习状态等做出教的内容和方法，充分调动学生的学习积极性，激发学生的学习潜质，解决“学什么”的困惑.

学生不仅学会知识，又要训练研究数学问题的方法，培养自己的数学思维能力，逐步发展独立解决问题的能力.本节课在教师引导下，由学生体会“具体事例—观察、试验—比较、分类—分析、综合—抽象、概括”的学习过程，通过自己的类比分析，归纳得出一般规律，获得函数的概念.

3.3 素养固本

学科核心素养是育人价值的集中体现，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学教学就是培养学生的数学核心素养，解决“怎么教”的困惑.

形成函数概念的过程是培养学生数学抽象核心素养的思维过程，本节课通过创设问题情境，精心设置问题串，层层递进、环环相扣，让学生通过对具体问题的观察与分析，归纳函数的要素，并由此抽象出函数概念，并通过正反例辨析，生动形象的比喻，加深学生对函数符号f(x)以及函数三要素的理解.这样做可以加强学生对函数概念的理解，更重要的是培养学生数学抽象的能力，使数学抽象素养的培养落到实处.让学生掌握了研究概念的一般方法，为后续的学习奠定基础.