追求自然而有深度的数学概念教学

江苏省南通市通州区平潮初级中学 (226361) 陆春霞

作为思维活动基本单位的数学概念揭示了现实世界空间形式与数量关系本质属性，是推导数学定理、法则的逻辑基础，是建立数学知识网络的基本要素，也是解决数学问题的基础与前提.让学生经历数学概念的形成过程，准确把握数学概念的内涵与外延，既是学生系统掌握知识的需要，也是思维培养不可或缺的有效载体.具体到操作层面，针对初中学生认知水平，追求自然而有深度的概念教学是开展数学概念教学的有效手段，我们可以从以下四个方面着手：

一、追根溯源，寻找数学概念的知识生长基点

数学概念不是与生俱来的，数学概念往往有着丰富的现实生活背景或数学知识背景.现实生活背景，学生都有着丰富、直观的生活经验感知；数学背景作为已有的知识储备，已存在于学生已有的认知结构当中；这也就自然成为数学概念的知识生长基点.因此，追根溯源，探寻数学概念的知识生长基点，结合学生的认知特征，让学生通过感知丰富的现实生活或数学背景，水到渠成习得概念就成为可能.

比如人教版教材《数学 七年级上》§2.1整式中的教学.我们知道，在学习整式之前，学生主要学习的是数的有关概念与计算，习惯于用数的相关知识解决问题.虽然学生在小学已接触过字母表示数，对含有字母的式子不陌生，但刚踏入初中学段的学生符号意识还比较薄弱，对字母表征式子的涵义还不清楚；对于如何寻找具体问题中的数量及其相互关系、如何用数学符号来表征这些数量关系往往感到困难.因此，教学中需要结合大量的具体实例，让学生通过分析具体实例中各数量及其关系并用探索用字母及式子表征，从中体会由实际问题抽象数学问题(从特殊到一般)，用数学符号表征数量关系的基本思路.思路的自然有助于学生在用字母表征这一过程中感悟式子中字母表示数的具体涵义，感悟用含字母的式子表示实际问题的数量关系所体现出来的一般性意义，从中体会数学符号表征数量及其关系的简明、清楚、准确的价值所在.

二、凸显本质，把握数学概念的核心与关键词

数学概念一般通过定义的形式叙述，给数学概念下定义就是揭示它的空间形式或数量关系的本质属性.它是排除一类对象的具体物质内容以后的抽象，是具有普适意义的一类对象在数与形方面的共同的、内在的固有属性.这些具有普适意义的共同的、内在的固有属性就是数学概念的核心所在，它往往通过概念叙述中的关键词表征出来.数学概念教学中凸显数学概念的本质尤为重要.我们需要引导学生在归纳、抽象得出概念的基础上，通过对数学概念中核心与关键词的解读与辨析，引导学生感悟数学概念的本质，厘清数学概念的内涵与外延，加深对数学概念本质的理解.

比如，角的概念，人教版教材《数学 七年级上》§4.3在通过钟面上时针与分针、棱锥相交的两条棱、三角尺两条相交的边线的基础上，抽象出角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.抽象出的角的概念已经摒弃了具体实物的材质、厚度、长度等特征，仅仅留下共同的空间形式(几何特性)，其中“公共端点”、“射线”是角的概念的关键词.换言之，没有公共端点的两条射线组成的图形不是角；角的两条边是射线，可以无限延伸.学生在初次接触角的概念时，如果对角的两边是“射线”不加以注意，受具体实物模型的影响，往往会误以为角的边画出部分较长的角较大，角的边画出部分较短的角较小.因此，教学中务必引导学生把握角的概念中的“共同端点”、“射线”，让学生从一开始就真正领悟角的概念的内涵.

三、整体架构，汇聚数学概念的知识系统网络

美国心理学家布鲁纳认为：学生“获得的知识，如果没有完满的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命”.

数学概念不是孤立的.每一个数学概念都有着现实需要或数学内部发展的需要而产生，在数学的知识网络系统中有着不可替代的地位.一些概念在数学知识网络中占据主体地位，是数学知识大厦的“主心骨”，谓之为“核心概念”；另外一些概念属于从属或一般地位，谓之为“一般概念”.数学概念教学中，教师首先要厘清哪些是“核心概念”，哪些是“一般概念”，它在整个数学知识网络系统中的地位如何，与其它概念又有着怎样的联系；要有意识地引导学生将新的概念及研究问题的方法纳入到他自己已有的知识体系中去；对于“核心概念”，在教学时特别要重视其在数学知识网络系统中的架构(不仅要重视架构的结果，还应重视架构的过程).

比如，函数是重要的数学概念，有着广泛的应用，在义务教育阶段数学课程中占有重要地位.人教版在八年级下第十九章安排了一次函数(§19.1介绍变量与函数概念)，九年级上第二十二章安排了二次函数，九年级下第二十六章安排了反比例函数，意在让学生在初中阶段对函数的认识有一个不断深入发展的过程.这里“函数”是“核心概念”，后续的一次函数、二次函数、反比例函数在给出其形式定义后仍需扣住函数的概念再次让学生思考：为什么一次函数、二次函数、反比例函数能称之为“函数”，它们符合函数的定义吗？让学生回归函数定义，再次理解定义中“每一个”、“唯一”、“对应”的涵义，让学生从心底真正认识到一次函数、二次函数、反比例函数是地地道道的“函数”，也为高中从集合对应角度定义函数打下伏笔.同时，一次函数中研究的“套路方法”：给出定义后研究一次函数的表示(列表法、解析法、图象法)，一次函数的图象性质，一次函数与方程、不等式，一次函数的应用等都给后续二次函数、反比例函数的研究提供了思路与方法.这些知识与方法本是就形成一个有机地整体，教师在教学时要有意识地加以渗透，让学生形成有机地知识与方法网络，从而透彻地理解概念，掌握方法.

四、聚焦素养，彰显数学概念的学科育人价值

日本数学家米山国藏认为：学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了.然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点，却能使他们终身受益.

数学概念是培养学生数学学科素养的绝佳载体.数学概念的产生、发展过程中都凝聚着一代又一代数学家探索的历程，其本身就蕴含着丰富的数学理性精神与思想方法.来自现实生活抽象的数学概念本身就蕴含着特殊到一般、形数转换、抽象概括、不完全归纳等数学思想方法，体现用数学的眼光看世界；来自数学内部发展生成的数学概念往往是已有数学概念的类比、拓展或推广，这个过程本身体现数学式的思考；数学概念的符号化其实就是用数学的方式表达世界.另外，数学概念的辨析与运用，涉及到数学模型的转换与运用，也是数学学科素养的体现.

数学是玩概念的，不是玩技巧的(李邦河语).依据初中学生的认知水平和数学学科的特点，追求自然而有深度的数学概念教学，通过追根溯源，寻找数学概念的知识生长基点；注重凸显本质，把握数学概念的核心与关键词；力求整体架构，汇聚数学概念的知识系统网络；聚焦学科素养，彰显数学概念的学科育人价值，以期落实数学教育所承载的立德树人根本任务，培育民族复兴大任的时代新人.