计数原理易错点梳理

叶朝伦 李燕祥

(云南省玉溪市民族中学)

计数原理是高考理科数学考查的重要内容之一,该问题具有类型多、方法多、变化多、交会多的特点,解题时,稍不注意就会出现这样或那样的错误,而且有的错误往往令人难以察觉.基于此,本文梳理常见易错点,以帮助读者加深对有关基本知识和解题思维的准确理解与到位认识,进一步提升解题能力.

1 处理相邻问题时，没有考虑顺序问题

例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ).

易错点分析本题易错点是将甲、乙两人看成一个整体加以处理时,没有考虑甲、乙之间的顺序问题——是甲左乙右,还是甲右乙左? 特别提醒:

1)一般地,遇到相邻问题,则应将相邻元素看作一个整体加以处理,但要注意考虑相邻元素之间的顺序问题(是固定的,还是可变的);

2)一般地,设正整数n,m满足n＞m≥2,若n个人站成一排,其中m个人必须排在一起,则不同排法有种.局部整体化分析时,需要考虑顺序问题.

2 处理有关个数问题时，没有考虑隐含条件

例2用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ).

当三位数是偶数时,应满足个位是偶数,这里可取0,2,4.

若个位是0,则只需考虑十位、百位放什么数字,显然此时从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数得到的不同的排列数符合题意,从而有个偶数.

若个位是2,则先从1,3,4,5这四个数中任取一个数放在百位,显然有4种放法,再从剩余的四个数中任取一个数放在十位,也有4种放法,从而此时有4×4＝16个偶数.

若个位是4,则类似个位是2 的分析知,有4×4＝16个偶数.

易错点分析本题易错点是没有注意到当个位是2或4时,应优先考虑百位放什么数字,这是因为三位数的百位不能为零.特别提醒:

1)一般地,若一个位数大于2的自然数,则该自然数的首位不能为零;

2)本题的求解用到了“分类与整合”的思想,这是由个位数的不确定而引起的.

3 约束条件较多时，利用“作差法”

例37人站成一排,若要求甲不站排头,且乙不站排尾,求不同的排法共有多少种?

易错点分析本题易错点是没有注意到若甲站排头,则乙可能站排尾;若乙站排尾,则甲可能站排头.因此,利用作差法求个数时,极易因忽视“甲站排头同时乙站排尾”这类特殊情形而导致错误.特别提醒:

1)求解这类有关个数问题时,要注意“正难则反”思想在解题中的灵活运用;

2)一般地,n(n∈N*,且n≥3)个人站成一排,由左到右分别记作:第1个位置,第2 个位置,…,第n个位置,若甲不站某一个指定位置,且乙不站另一个指定位置,则不同排法共有种.

4 约束条件较多时，考虑不全面

例4有3个成年男子和2个男孩应邀一起去上海观光旅游,晚上住在某旅店,该店有A,B,C 三个房间,房间A 可住3人,房间B可住2人,房间C可住1人.为确保安全,男孩需由成人陪同方可入住,则他们入住的不同方式共有________种.

要把5人安排入住,可以分两类:一是只住2个房间A 和B,2个小孩都住A 房间,只需挑1个大人住A 房间,其余2个大人住在B 房间,共有种;或1个小孩住A 房间,共有种.二是住在3个房间,2个小孩都住A 房间,共有种;或1个小孩住A 房间,共有种.

易错点分析本题易错点是因为约束条件较多,分类讨论时不能将各种情况考虑全面,所以极易出错.

5 没有厘清“二项式系数”与“系数”

例5的展开式中第六项的二项式系数是_________,第六项的系数是_________.

展开式中第六项的二项式系数是C56＝6.因为展开式中

故所求展开式中第六项的系数是－6.

易错点分析本题易错点是没有真正厘清如何具体求解“指定项的二项式系数”与“指定项的系数”.特别提醒:(a＋bx)n(n∈N*)展开式中第r＋1项的二项式系数为,第r＋1项的系数为,具体运用时必须把底数看作是两数之和的形式,否则极易出错.

6 没有厘清“二项式系数之和”与“系数之和”

例6已知二项式

(1)若展开式中各项的二项式系数之和为256,求展开式中含x－1的项的系数;

(2)若展开式中各项的系数之和为256,求展开式中含x－1的项的系数.

令4－r＝－1,得r＝5,故所求展开式中含x－1的项的系数为

(2)取x＝1,即得的展开式中各项的系数之和为(5－1)n＝4n,所以由题设得4n＝256,所以n＝4.

令2－r＝－1,得r＝3,故所求展开式中含x－1的项的系数为

易错点分析本题易错点是容易搞混“展开式中各项的二项式系数之和”与“展开式中各项的系数之和”这两个不同的概念,从而导致错误.特别提醒:一般地,设f(x)＝(a＋bx)n(n∈N*),则展开式中各项的二项式系数之和必为2n;取x＝1,即得展开式中各项的系数之和为f(1).

综上,认真学习计数原理章节的知识,梳理常见解题易错点,有利于帮助我们不断积累解题经验,避免一些常见错误的产生,逐步提高解题的速度和准确性.

链接练习

1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( ).

2.高考规定每一个考场30名学生,可以编成“五行六列”就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生将同时排在同一考场考试,要求这两名学生前后左右不能相邻,则甲、乙两名学生不同坐法种数为( ).

5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“中国歼-15”战斗机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有_________种.

链接练习参考答案

(完)