插空法巧解题

黄旭军

上课铃响起，小张同学正想把两本课外书放到最上层书架上时，阿木老师走进了教室，大叫一声：“停！”然后拿起手机，把书架拍了下来。

各位同学看得莫名其妙。老师把拍好的照片投影出来，说：“刚才小张同学要把两本不同的课外书放在最上层的4本书中，共有几种放法？”同学们恍然大悟，原来阿木老师又想到新题了。这个题目看似简单，却有种“有力无处使”的感觉。有些同学用枚举法一个个列出来，也不敢保证是否有重复和遗漏。

阿木老师说：“其实很简单，我们只要把4本书看成5个空隙，放第一本书时，这5个空隙就是5个不同的位置！”

“哦，然后放第二本时，就有了6个空隙，就有6种了，那么一共就是5×6=30（种）！”数学课代表接着回答。

“真棒！”阿木老师点点头，“这种通过找空隙插入的方法称为插空法，其优点大家都看到了，是不是很方便啊？”阿木老师一说完，同学们纷纷恳求他传授数学“绝招”。

例1

把1、2、3、4、5组成没有重复数字且数字1、2不相邻的5位数，则所有不同排法有多少种？

观察开始

把1、2、3、4、5排成1、2不相邻且数字不重复的5位数是排列组合问题。其中，问题的关键在于1和2是不相邻的。

常规思路

我们先来思考1和2相邻的情况。当1和2相邻时，有2种排列情况：12和21。

接下来，我们把12和21当做一个整体，分别与3、4、5进行排列，共有2×4！=48（种）排法。

如果不考虑相邻的情况，共有5！=120（种）排法。

因此1、2不相邻的排法有120-48=72（种）。

另辟蹊径

下面我们来试试插空法：

先将3、4、5三个元素排定，共有3！=6（种）排法，然后再将1、2分别插入3、4、5的4个空位中，共有4×3=12（种）排法。

根据乘法原理，所有排法共有6×12=72（种）。

答：一共有72种排法。

例2

6个白球排成一队，再加3个黑球，请问一共有多少种排法？

观察开始

又是一道排列组合类的题目。这道题目很简单，但是我们解答起来比较麻烦。

常规思路

我们先用枚举法列出所有可能。“O”表示白球，“●”表示黑球。

第一类：3个黑球排在一起，共有以下7种排法。

第二类，2个黑球排一起;第三类，1个黑球单独排……

经过复杂的排列，共有504种排法。

另辟蹊径

我们用插空法求解，这样更简便。

6个白球算上两端共有7个空：

我们先放第一个黑球，有7种放法。放好后，共有7个球了，再放第二个黑球时就有8个空。排最后一個黑球时就有9个空了。所以共有7×8×9=504（种）。

答：共有504种排法。

训练一二一

在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个节目，则不同的添加方法共有多少种？

（答案见下期）

上期答案：1. 11厘米。2. 一组是14（2个7），33（1个11和1个3），75（2个5和1个3），169（2个13）;另一组是30，35，39，143。