关注对数函数、指数函数常见解题误区

刘 洋

(天津市第三十二中学)

学生在求解与对数函数、指数函数有关的问题时,常陷入各种解题误区,以下对常见的解题误区加以归类解析,以期帮助学生全面准确地理解、认识对数函数和指数函数的图像与性质,提高解题效率和解题能力.

1 未注意对数函数的定义域而致错

例1函数的单调递减区间是_________.

剖析错解的根源在于忽视了对数函数y＝log3u单调递增,必须满足u∈(0,＋∞).

求解与对数函数y＝logax(a＞0,a≠0)有关的函数的定义域和单调区间时,应优先考虑其本身的约束条件,即x＞0.

2 未注意函数图像的渐近线而致错

例2设a＞1,则曲线y＝|loga(x＋1)|与直线x＝－3的公共点共有________.

错解如图1所示,在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝|loga(x＋1)|和x＝－3的图像,由图观察即知所求曲线与直线的公共点共有1个.

图1

剖析上述错解的根源在于没有注意到对数函数y＝logax图像的渐近线——y轴,即直线x＝0,从而所作曲线y＝|loga(x＋1)|的图像不准确,由此致错.

正解如图2 所示,先准确地作出函数y＝|loga(x＋1)|的图像,注意该函数图像的渐近线为x＝－1;然后再作直线x＝－3,则由图观察即知所求曲线与直线的公共点共有0个.

图2

值得注意的是,在利用指数函数、对数函数的图像解题时,准确地作出函数图像是解题的关键所在.

3 未注意函数特性的灵活运用而致错

例3对数函数y＝logax与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一平面直角坐标系内的图像可能是( ).

错解如果0＜a＜1,则因为二次函数图像的开口向下,所以对数函数单调递减,故选C.

剖析错解的根源在于没有注意到当0＜a＜1时,二次函数与x轴的两个交点满足:一个是坐标原点,一个在x轴负半轴上.故考查二次函数的图像时,不但要注意开口方向,而且要注意函数图像与x轴交点的具体情形.

正解当0＜a＜1 时,二次函数图像的开口向下,且与x轴的两个交点:一个是坐标原点,一个在x轴负半轴上,所以选项C错误.

当a＞1时,二次函数图像的开口向上,且与x轴的两个交点:一个是坐标原点,一个在x轴正半轴上,所以选项B错误,又因为此时对数函数单调递增,所以选项D 也错误.故选A.

遇到二次函数与对数函数在图像方面的交会问题时,要注意认真观察函数的图像,灵活运用函数的特性,加以准确分析.

4 未注意底数对函数单调性的影响而致错

例4如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0,a≠0)在区间[－1,1]上的最小值为,求a的值.

剖析错解的根源在于分析t的取值范围时,误以为指数函数t＝ax在[－1,1]上单调递增.实际上,因为底数a＞0,且a≠1,所以指数函数t＝ax在[－1,1]上的单调性不确定,故应加以讨论分析.

正解当a＞1时,同错解,可得a＝3.

当0＜a＜1时,因为指数函数t＝ax在[－1,1]上单调递减,所以,所以当t＝a时,由题设知,又0＜a＜1,解得

综上,a的值为3或.

利用指数函数的单调性解题时,首先要注意底数与1的大小关系,若不确定,则应分情况讨论.一般地,若底数a＞1,则有ax＞ay⇔x＞y;若底数0＜a＜1,则有ax＞ay⇔y＞x.

5 未注意对数函数的值域为R 必须满足真数取遍所有的正数而致错

例5若函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)的值域为R,求实数a的取值范围.

错解依题设,应使ax2＋2x＋1＞0在R 上恒成立,所以解得a＞1.

综上,所求实数a∈(1,＋∞).

剖析当真数大于零时,并不能保证真数一定取遍所有的正数,从而对应函数的值域也就不一定是R.例如:函数y＝lg(x2＋1)中的真数x2＋1≥1＞0,但对应的y≥lg1＝0,即函数的值域是[0,＋∞),显然就不是R.上述错解,实际上是分析了当函数f(x)的定义域为R时,实数a∈(1,＋∞).

正解依题设,应使函数g(x)＝ax2＋2x＋1的函数值取遍所有的正数.

当a＝0 时,在原函数f(x)的定义域{x|x＞的约束下,函数g(x)的函数值显然可以取遍所有的正数.

当a≠0时,要使二次函数g(x)的函数值取遍所有的正数,则应使解得0＜a≤1(注意此时原函数f(x)的定义域可由g(x)＞0求得).

综上,实数a的取值范围是[0,1].

求解本题的关键在于,分析题设得到真数ax2＋2x＋1必须取遍所有的正数.

综上,借误导悟,有利于迅速提高学生对对数函数、指数函数图像和性质的认识与理解,同时也有利于进一步提升学生的直观想象素养、数学运算素养以及逻辑推理素养.

(完)