浅谈排列组合中的站队问题

齐航

排列与组合是《普通高中数学课程标准（实验）》中“数与代数”学习领域的一部分内容.在古代春秋时期就已经有了组合数学思想的萌芽，由《周易》中对卦符问题的研究——“易生太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”可见，排列组合是一个名副其实的古老数学问题 .解答排列组合应用问题时，我们应首先弄清楚是排列（有序）问题，还是组合（无序）问题，或者是排列与组合的混合问题.其次，我们要准确的确定哪一步是“分类”，哪一步是“分步”.排列组合应用到实际生活中，常常令情景变得千头万绪，但其中仍蕴含着不变的解题规律.

本文通过一道带有7个小问的例题全面且详细的列举出此类问题的解答策略.常用的方法有“直接法”和“间接法”（即剔除不符合限制条件的情况，因而间接法又称为排除法）.如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题分的类较少或计算较简便，则用“直接法”较麻烦，往往采用“间接法”.

用“直接法”来解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：特殊元素优先排——即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；特殊位置优先放——即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置.

例（1）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

（2）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

（3）7位同学站成一排，甲不能站排头，乙不能站排尾的排法共有多少种？

（4）7位同学站成一排，其中甲不站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

（5）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（6）7位同学站成一排，A、B、C三人互不相邻共有多少种不同的排法？

（7）7位同学站成一排，A、B、C三人相邻共有多少种不同的排法？

1. 两个原理的应用

（1）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解法一首先，判断“分类”还是“分步”；其次，确定“分步”之后，第一步：从7个不同的元素中取出3个元素，按照一定的顺序排成一列，即A37种排法.第二步：剩下的4个元素进行全排列，即A44种排法；最后，利用“分步乘法计数原理”，即A37×A44种排法.

解法二分排问题直排处理.把n个元素排成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法处理.因7名同学可在前3后4的位置中随意站位，再无其他条件，所以两排可看做一排来处理，其不同站法种数为A77.

2.直接法

（2） 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解本题正面计算简便，故用“直接法”.甲站在中间已经固定，让剩余的6个元素进行全排列即可，即A66种排法.

（3） 7位同学站成一排，甲不能站排头，乙不能站排尾的排法共有多少种？

解本题考虑直接法时首先要选择分类的标准.若以甲为研究对象，因为乙不能站在排尾，所以甲是否站在排尾要受乙的影响.进而分为两类，第一类：甲站在排尾——由于甲站在排尾，所以同时满足了甲不站排头和乙不站排尾这两个条件.从除甲之外的6个人中任取1人站在排头，有A16种排法，剩下的5个人在中间的5个位置进行全排列，有A55种排法.由分步乘法计数原理共有A16×A55种排法；第二类：甲不站在排尾——此时考虑首位的特殊性，从除甲、乙外的5个人中任选1人站在排尾，有A15种排法，再从除甲和站在排尾的人之外的5个人中任选1人站在排头，有A15种排法，最后将剩余的5个人在中间的5个位置进行全排列，有A55种排法.由分步乘法计数原理共有A15×A15×A55种排法.最后根据分类加法计数原理共有A16×A55+A15A15×A55

排法.

3.间接法

（3）7位同学站成一排，甲不能站排头，乙不能站排尾的排法共有多少种？

解“间接法”.正面计算此题时，分类之后每一类下又会有分步情况，情况复杂，不易解决，可考虑从反面入手，将其等价转化成一个较为简单的问题来处理，故采用“间接法”.不妨取名记为“正难则反”.计算甲站排头的排法，有A66种，同理乙站排尾也有A66种，用7个元素全排列减去甲站排头和乙站排尾的情况，即A77-2A66种.此时，很容易遗漏甲站排头和乙站排尾两种条件下，有一种情况重复了，即甲站排头同时乙站排尾的情况，有A55种排法.这一种情况我们减掉了两次，故应该在其基础上再加回一次，即A77-2A66+A55种排法.

（4）7位同学站成一排，其中甲不站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解甲不站在中间，则有6种可能的站法，正面分类复杂，计算繁琐，故采用“正难则反”的方法.由例（2）知，7个元素全排列减去甲站在中间的排法即得到甲不在中间的排法，即A77-A66种排法.

4.特殊元素（位置）优先法

（4） 7位同学站成一排，其中甲不站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解安排甲时要求其不站在中间的位置，所以这是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素——甲，或者特殊位置——中间，再考虑其他情况.

解法一特殊元素优先排——因甲不能站在中间，故第一步先让甲站在除了中间的任一位置上，有A16种排法；第二步再让剩下的6个人站在剩余的六个位置上，有A66种排法，由分步乘法计数原理共有A16×A66种排法.

解法二特殊位置优先放——因中间不能站甲，故第一步先从甲以外的6个人中任选一人站在中间，有A16种排法；第二步再让剩下的6个人站在除中间外的六个位置上，有A66种排法，由分步乘法计数原理共有A16×A66种排法.

（5） 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解法一特殊元素优先排——首先考虑特殊元素，让甲、乙站在两端，有A22种排法；再让其他5个人在中间的五个位置上做全排列，有A55种排法，由分步乘法计数原理共有A22×A55种排法.

解法二特殊位置优先放——首先考虑两端2个位置，让甲、乙站在两端，有A22种排法；再考虑中间5个位置，由剩下的5个人去站，有A55种排法，由分步乘法计数原理共有A22×A55种排法.

5.插空法

（6）7位同学站成一排，A、B、C三人互不相邻共有多少种不同的排法？

解“插空法”——对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入.首先将除A、B、C三人之外的4个人进行全排列，有A44种排法.四个人排列之后产生了5个空位，再从5个位置中任选3个位置，将A，B，C进行全排列，有A35种排法.根据分步乘法计数原理共有A44×A35种排法.

6.捆绑法

（7）7位同学站成一排，A、B、C三人相邻共有多少种不同的排法？

解“捆绑法”——对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列然后再对相邻元素之间进行排列.首先将A、B、C三人进行全排列，有A33种排法.再将三人看成一个整体，与剩余的四个人进行全排列，有A55种排法.根据分步乘法计数原理共有A33×A55种排法.

通过几例“站队”问题映射出了排列应用题的六种解题策略.其中，应用分步排位的方法计算排列数时，应注意以下三个方面：①在题设条件制约下，每一步排位，哪些元素可取，哪些元素不能取；②在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；③若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算.例（4）和例（5）都是带有限制条件的排列问题，此类问题应对特殊的元素或者特殊的位置进行优先考虑.例（6）和例（7）是典型的“邻不邻”问题.对于有些元素必须要安排在一起，我们常用“捆绑法”.把它们视为一个整体，即先排整体内部的元素，再把整体视为一个个体，一个大“元素”与其他元素一起排列即可.对于有些元素不能安排在一起，也就是需要间隔，我们把这类有部分元素不能相邻的排列问题称为间隔排列问题.解决间隔排列问题的有效方法是“插空法”，也就是先排不需要间隔（可以相邻）的元素，再将需要间隔的元素用插空方式插进来即可.

三、总结

解决排列组合问题的基本规律可以用16个字来概括：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合.“站队”问题的解题方法特殊，抽象性强，思维方法新颖.在解这类题时，往往会出现对题设认识不够，题设中的内涵关系理解不透，题设结论之间的联系分析不尽而出现解题思路受限，条件应用考虑不周，导致结果出现重复、遗漏甚至答非所问的情况 .本文通过对两类问题的解题规律和解题方法进行探究，从千差万别的实际问题中探究出数学模型，方便理解和记忆排列组合题型中的多种分类标准和解题方法.排列组合的内容虽然在高中数学教学中所占比重不大，但却是今后学习概率统计的基础.而且通过排列组合的学习，可以变换学生的思维方法，这也是培养学生思维品质、优化思维过程的一个重要方面.

（收稿日期：2014-11-10）