突出本质 发展量感——《平行四边形的面积》教学实践与思考

文|林艳萍

【教学过程】

一、经验唤醒，回顾旧知

师：（出示长方形框架）谁会计算它的面积？

生：长方形的面积=长×宽，所以14×10=140（平方厘米）。

师：长方形的面积为什么用长×宽，谁还记得？

生1：有14 行，10 列。

生2：有14 个10。

生3：用1 平方厘米的小正方形去测量，长要摆14 个，宽要摆10 个。

师：（边板书边小结）刚刚这几位同学都说得很好。他们让我们想起来为了求面积，数学家们创造了面积单位，有了面积单位我们就可以测量长方形的面积。

【设计意图：回到知识的原点是结构化教学的重要手段。上课伊始，教师通过创设富有挑战性的问题“长方形的面积为什么用长×宽”，引发学生深度思考，唤醒学生对面积及面积测量（数格子）方法的记忆，为本节课研究平行四边形面积的方法埋下伏笔。】

二、制造冲突，形成猜想

教师推动黑板上的长方形框架，将它变成一个平行四边形。

师：请试着算出这个平行四边形的面积。有困难的同学可以到前面找老师，看看有什么问题，老师帮助解决。

【设计意图：由于长方形、正方形面积计算经验的负迁移，很多学生会想当然地觉得平行四边形的面积是邻边相乘，更多的学生会因为题目中只有邻边分别是14cm 和10cm 这两个条件，而直接将这两个数相乘。只有深入思考的同学才会发现这里条件是不足的，在这里，教师提供了非常规的问题。如果给学生“高”这个条件,出错的学生会比较少。然而，实践证明，让学生经历由差错走向正确，认知会更深刻。】

师：谁来说说你是怎么算的？为什么这么算？

生1：我是用14×10=140（平方厘米）。因为把它推回来就变成长方形，它的面积还是长×宽。

生2：我认为不可以这么算，这么算会改变面积。

师：现在问题的焦点是往下推面积到底变不变，如果面积变了，就不可能是14×10，讨论一下。

大部分同学认为，这么一推，变矮了，面积会改变。

课件出示下图：

师：面积单位可以测量长方形的面积，也可以测量平行四边形的面积，我们现在就把它放在面积单位里。大家数一数。

生：我是这么数的，把左边多出来的部分切下来平移到右边，这样平行四边形就变成了长方形。所以平行四边形的面积等于14×8=112（平方厘米）。

师：大家有什么疑问吗？

生1：8 是哪来的呢？

生2：8 是长方形的宽，也就是平行四边形的高。

师：也就是大家猜想平行四边形的面积不是两条邻边相乘，而是什么？

生：底乘高。

【设计意图：这里的学习是充满张力的，因为同一个平行四边形，学生算出了140 平方厘米和112 平方厘米两个结果，这对学生来说是很大的冲击，让他们将目光聚焦在转化前后“面积是否改变”这一本质特征上，回到“数格子”，学生最终形成“底乘高”的猜想。】

三、实践操作，验证猜想

师：现在大家有一个大胆的猜想：平行四边形的面积=底×高。

师：是不是所有平行四边形的面积都是底乘高？在你们的信封里有剪刀和平行四边形, 我们一起来验证。

课件出示操作要求：（如下图）

学生动手验证，汇报。（如下图）

师：通过操作，我们发现只要沿着平行四边形的高剪开，就可以把平行四边形转化成长方形，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：老师发现有一组同学没办法把平行四边形转化成长方形，为什么？

生：因为他们没有沿着平行四边形的高剪。

师：为什么要沿着平行四边形的高剪？不沿着高剪行吗？

生：长方形有四个直角，平行四边形的高和底垂直，不沿着高剪就没办法拼成长方形。

师：沿着这条高剪可以吗？这条呢？

生：沿着平行四边形的任何一条高剪都可以。

师：如果用S 表示平行四边形的面积，a 表示平行四边形的底，h 表示平行四边形的高，它的面积计算公式可以怎么表示？

生：S=ah。

师：我们要知道平行四边形的面积，必须知道什么条件？

生：底和高。

【设计意图：数学的学习离不开学生的动手操作，离不开同学之间的合作交流，更离不开学生自己的独立思考。教师给学生准备大小不一的平行四边形，学生在经历、体验、思考、分享的过程中，思维不断拓展，最终将新知转化成旧知，根据长方形的面积计算公式推导出了平行四边形的面积计算公式。】

四、几何直观，反思论证

师：回到刚才的问题，为什么把平行四边形框架这么一推，面积就变小了？

生：这么一推，底不变，高变短了，所以面积就变小了。

师：如果把平行四边形推回长方形，会把平行四边形的面积算多了，我们来看个视频。老师在平行四边形的框架里铺满了幸运星，我们一起来看会发生什么变化？

生：平行四边形的底不变，高变长，面积就变大。里面就会空出来一块。

师：现在这个框架已经推成了长方形，想一想，老师如果再往下推，面积会怎么样？为什么？

生1：如果再往下推，底不变，高变短了，平行四边形的面积就变小了。

生2：推成长方形，面积最大。

师：现在把这个长方形拉回来，里面的幸运星会怎么样？为什么？

生：底不变，高变短了，面积变小了，里面的幸运星会被挤出来。

师：这么一推，面积变小了，小了哪部分的面积？

【设计意图：教学峰回路转，回到一开始的矛盾冲突,让学生直面这一冲突，并追究、深究为什么不能用“推”的方法进行转化。借助直观演示，从铺满幸运星的面积模型的动态变化中，学生再次回到知识的原点，借助“面积单位”（幸运星）的“平铺”（面积的测量方法），结合图形变换中量的变与不变来理解。】

五、即时练习，巩固提升（略）

【课后思考】

一、追本溯源，突出本质

课堂伊始，教师设计了两个问题：一是面积是什么？二是长方形面积的计算公式是如何得到的？这两个问题直击“面积”及其测量的数学本质,为探究平行四边形的面积提供了知识与方法的准备。众所周知，探究平行四边形的面积至少需要以下两个方面的认知准备：一方面是要理解平行四边形的面积“在哪里”；另一方面是要知道面积这个量是怎样测量得到的。课前的两个问题有效地唤醒了学生对面积这个量的意义表象，值得一提的是，用“一行的面积单位数”乘“行数”求面积的方法，实实在在为学生合理猜想平行四边形的面积计算方法做好铺垫。

二、联结融通，形成结构

小学数学的结构化教学，是指在数学教学中，整体地、系统地对教材和教学流程进行合理安排，把已经学的、现在学的、未来学的知识或方法建立一个结构性的联系，以使其充分遵循学生的心理认知结构和知识发生规律的教学观念和方法。结构化教学可以保留知识的本质以及曾经建立的知识关系，把抽象难懂的知识内容变成具体且立体的知识体系，进而在学生脑海中形成一个完整的知识链。具体在本课中，教师把面积、面积单位、长方形和平行四边形的面积计算方法等内容串联起来，这是知识的结构化。长乘宽对应底乘高，进而让学生直观感知长方形和平行四边形面积的计算是“相互垂直的一组线段的乘积”，这是方法的结构化。在知识与方法上帮助学生建构结构，同时为以后的面积计算学习埋下种子。

三、方法统整，提升能力

《数学课程标准（2011年版）》指出：“图形度量的相关知识对于每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。”度量是数学的本质，也是人们认识数学，进而认识现实世界的工具。《数学课程标准（2022年版）》更是将“量感”作为一个新的核心概念加以强调。面积计算是图形所包含的面积单位的个数，实质是单位面积度量的结果。教学中，将二维平面做成的“面积尺”作为计量单位，通过数方格的方式测量面积。而后，更是将“割补”的方式作为一种快捷地“数单位”的方法。在不知不觉中将“割补”与“数单位”统一起来，让学生在不同的方法中寻找并感受相同，其本质是让学生洞悉面积作为一个量，其本质是面积单位个数，是计量的结果，也是计数的结果。

四、几何直观，发展量感

平行四边形为什么不能用“推”的办法转化为长方形？将一个平行四边形“推”成长方形时，面积真的变了吗？是增加还是减少？增加与减少的部分在哪里？这些问题，学生的感觉都是模糊的。为此，教师设计了如下的环节：在平行四边形框架里铺满幸运星，用视频生动地展示了面积的动态变化过程，当“推”成长方形时，多出了空间，说明面积变大了，当长方形“推”回平行四边形时，幸运星再次密铺了图形，继续推，幸运星被挤出框架之外……幸运星将平行四边形框架围成的面积变化直观地展示在学生的眼前。在这样的过程中，学生对面积这个量的感觉具体了，且具有某种“画面感”，这种“画面感”是对面积最形象而真实的记忆与感觉，是量感。