“平行四边形的面积”教学纪实与评析

于鸿儒　周莓

教学内容：人教版五年级上册第六单元 “平行四边形的面积”。

教学目标：

1.通过理解平行四边形面积计算公式的推导过程，掌握平行四边形的面积公式，并能运用公式解决简单的实际问题。

2.通过动手操作、观察、猜想、验证等数学活动过程，探索平行四边形面积公式的推导方法，体验转化和等积变换的数学思想，积累数学活动经验，发展空间观念。

3.在动手实践、自主探究与合作交流中做数学，学数学，体会解决实际问题的乐趣。

教学重点：探索并掌握平行四边形面积计算公式，并能正确运用公式解决问题。

教学难点：理解和完整表述平行四边形面积计算公式的推导过程，体会转化和等积变换的思想。

教学准备：多媒体课件，平行四边形。

教学过程：

一、游戏导入，激发兴趣

师：听说咱们五年二班的同学特别爱动脑，我们做个游戏，每一个小格代表1平方厘米，谁能说出不规则图形的面积？（课件出示一个适合数格子算面积的不规则的图形。）

生：第一幅图的面积是12平方厘米。

师：你是怎么得出结论的呢？

生：我是数格子数出来的。

（课件出示另一个适合割补法求面积的图形。）

生：这个箭头的面积是12平方厘米。

师：你又是用什么方法算出来的呢？

生：我是用数格子的方法。

师：你也很善于观察。谁还有其他方法？

生：我是把这一部分剪掉移到另一边，拼成一个长方形，然后求长方形的面积。

师：为什么要转化成长方形呢？

生：因为长方形的面积等于长乘宽，把它拼成长方形我就会求了。

师：你们可真聪明，想到解决新问题的方法，太棒啦！同学们都知道长方形的面积等于长乘宽，还知道长方形是特殊的平行四边形。那么，平行四边形的面积到底该怎么计算呢？这节课我们就来共同研究平行四边形面积的计算方法。（板书，出示课件。）

二、观察猜想，探究验证

（课件出示平行四边形。）

师：同学们猜想一下，平行四边形的面积可以怎么计算呢？

生： 我觉得平行四边形的面积可能等于邻边相乘。

师：看来你是从长方形面积的计算方法来想的。

生：我猜平行四边形的面积有可能等于底乘高。

师：猜测是伟大发现的开始，数学是一门严谨的学科，猜测是否正确，需要我们来动手验证。现在请同学们拿出准备的平行四边形卡片，小组同学一起验证这两种猜想是否正确。（教师深入，与学生共同操作。）

三、全面交流，探究提升

1.明确平行四边形转化成长方形的过程及对应关系。

师：谁愿意向大家完整地介绍一下你们组的探究思路？

生：我们组是把平行四边形沿着高，剪下一个三角形，把它挪到另一侧，然后拼成一个长方形，所以平行四边形的面积就等于底乘高。

师：哦，三角形怎样挪的，演示给大家看。（学生演示。）

师：谁能准确、完整地把你们组的操作和思考过程表述清楚呢？

生：我们组用的是割补法，把平行四边形沿着高剪下来一个三角形，平移到另一侧，然后拼成一个长方形。这个长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积就等于底乘高。

师：这个同学说得很有层次，很完整。我建议把他说的“就是”这个词换成“相当于”这个词。（教师边说边演示上述文字投影。）同学们自己说说采用割补法的操作过程。（学生说。）

师：哪个组和这个组有不同想法？

生：我们组第一步和他们一样，后面不一样，长方形的长相当于平行四边形的高，长方形的宽相当于平行四边形的底，长方形面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积就等于高乘底。

师：为什么？请到前面用投影演示。大家认真观察，发现了什么？

生：平行四边形底比高长时，转化后长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高。

生：平行四边形高比底长时，转化后长方形的长相当于平行四边形的高，长方形的宽相当于平行四边形的底。

生：虽然长方形的长、宽和平行四边形的底、高的对应有变化，但是，求平行四边形的面积就是底和高相乘的关系。高乘底和底乘高是一样的结果。

师：平行四边形高和底的线段长短关系不同，转化后图形各部分对应关系也相应地变化，要注意观察高和底的位置。求平行四边形的必要条件就是要知道它的底和高。

师：还有其他的转化方法吗？按着这个过程向大家说清楚。（师指前面的文字投影。）

生：我们是沿着平行四边形另外一条“高”剪的，剪成了两个直角梯形，把当中的一个平移过来也拼成了一个长方形。这个长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积就等于底乘高。

2.探讨图形转化的依据及思路。

师：为什么都是沿着平行四边形的高剪再转化成长方形？

生：长方形有四个直角，只有沿着高剪，才能出现直角，才能想办法把平行四边形转化成长方形。

师：那平行四边形有多少条高呢？

生：无数条。

师：那可以有多少种剪拼的方法呢？

生：无数种。

师：下面在小组里，仔细观察刚才操作的卡片，互相交流，说说你发现了什么。

生：我发现，这么多剪拼方法，可以分成两种思路，一种是剪成一个三角形和一个直角梯形，再转化为长方形。另外一种是剪成两个直角梯形，再转化为长方形。（投影，沿着行四边形不同位置的高，剪开，平移，转化成长方形。）

师：同学们会观察、会操作、会思考。请大家打开数学书第87页，观察图形转化的过程，自己说一说。

3.深入探究，总结公式。

师：再拿出桌上的绿色平行四边形卡片，底用字母a表示，高用字母h表示，面积用字母S表示。进行割补、平移，转化为长方形，你能用字母表示出它的面积公式吗？它的底是8厘米，高是6厘米，你能算出它的面积吗？能证明你总结的公式正确吗？自己操作，计算，然后同桌交流。（投影出示这3个问题。教师巡视、指导，参与探究。）

师：相信大家能完整地说明平行四边形的面积字母公式。想一想，怎么说？

生：用S表示平行四边形的面积，a表示平行四边形的底，h表示平行四边形的高，平行四边形的面积字母公式就是S=ah。（教师板书公式。）

生：这个平行四边形的面积是底乘高，8乘6等于48平方厘米。

师：正确吗？说说理由。

生：这是原来的平行四边形，转化成长方形，是同一块纸张，图形的平面大小一样，面积就一样。

生：它转化成的长方形，面积是长乘宽，8乘6等于48平方厘米，和原来的平行四边形面积相等。

师：同学们能用转化关系来说明，又能用转化后的长方形面积计算的数据来说明，从不同思路出发证明了平行四边形的面积公式。

4.验证猜想，检验公式。

师：下面来计算我们开始时猜想的平行四边形的面积，用邻边相乘，再用底乘高，哪个结果是正确的？什么理由？

生：求平行四边形的面积用底乘高的方法正确。因为平行四边形的底是6厘米，高是3厘米，面积是18平方厘米，它有18个1平方厘米的小方格。

生：用邻边相乘是错的。因为邻边相乘，4乘6等于24平方厘米。实际它的面积是18个1平方厘米，数据和实际不一样。

师：再一次证明同学们探究出的平行四边形的面积公式是正确的。下面请同学们打开数学书，认真默读第86页和第87页，把你认为重点的部分标记出来。

四、实践应用，解决问题

1.基本练习。（ 强调书写格式以及字母公式的带入过程。）

（1）把你们准备的平行四边形卡片，同桌交换，计算出面积。

（2）平行四边形花坛的底是8米，高是5米，它的面积是多少？

2.巩固练习。（会灵活运用公式。）

计算平行四边形的面积。

3.变式练习。

面积是24平方厘米的平行四边形，它的底和高分别可能是多少？

4.提升练习。

比较3个平行四边形面积的大小。猜猜它们面积的大小。量量各自的底和高并计算，你发现了什么？你能画出多少个和他们面积相等的平行四边形呢？ 可以划分成几种思路？（同底等高，等底等高。）

五、数学文化、提升素养

师：同学们，你们知道吗，刚才你们用来验证平行四边形面积公式的方法，竟然和我国的古代伟大的数学家想法一致呀！早在我国古代的数学著作《九章算术》和《周髀算经》中都有提出。这种方法叫出入相补原理，所谓的出入相补原理就是：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。希望你们带着自己的方法和收获继续徜徉在数学的王国里！

评析：

本节课，教师立足于整体，落实《数学课程标准（2011年版）》的要求，从学习几何图形的实际出发，以“假设（猜想）——动手实验——推导——概括——应用”的教学步骤，使学生在充满生命力的学习中全面成长。教学特点如下：

一、 动手操作，丰富“直观”体验，奠定“推理”基础

本节课以动手操作为载体来丰富学生对平行四边形的体验，为推出面积的计算公式奠定基础。如，学生进行课前学习用具的准备，每个人制作多张平行四边形的操作卡片，直观再现了学生原有相关的经验；再如，第一次进行小组探究学习操作的平行四边形，有常见的平行四边形，还有菱形的；有高的长大于底的长，也有底长大于高的，使学生获得对平行四边形转化中的全面体验；又如，在推导出平行四边形面积公式的操作中，学具卡是用画着一平方厘米方格的面积单位纸制作的，上既有字母标注，又有数据标注，使学生获得了数、形、字母、平面面积等多层直观体验。学生所进行的操作内容蕴含着进行推理的丰富素材。

二、 探究交流，提炼“直观”认知，学习“推理”思维

此课重视动手操作后的探究交流活动。重视体现“推理”思维，学生凭借对平行四边形转化为长方形操作过程的直觉、体验，推出它们之间的联系，体会出平行四边形与长方形面积的计算方法的联系，最后总结出公式。在探究平行四边形高和长的不同的长度关系时，找到了求平行四边形面积的必要条件。在总结公式环节，先合情推理，再总结出平行四边形面积的字母公式；然后演绎推理，验证公式是否正确。教学中教师重视语言表达的环节，有效地将“直观”体验与逻辑推理融为一体。注意引导学生适当应用数学语言表达思考的内容；注意指导学生表达时抓注要点，理清层次；注意操作、表达互动、说做结合。

三、 阅读教材，提升“直观”体验，感悟“推理”方法

引导学生阅读数学教材，是提升“直观”体验，感悟“推理”方法的重要途径，也是培养学生自主学习能力的重要途径。此课第一次是默读教材转化部分的图形。这是体现割补、平移过程的平面图，是从实物操作抽象为观察图形操作图，也是学生视图的难点。学生边看边说，利于空间概念的形成。第二次阅读教材是总结出计算公式后，这是较系统地理顺本课知识机构关系，感悟实验、推理的方法

四、 巩固与拓展，积累“直观”经验，提高“推理”能力

第一题重视基础性、规范性、参与性，一部分题目来自学生课前设计的图形卡片。第二题摒除定式思维，启迪灵活思维、自主思维。同一个平行四边形，两个不同的底，对应做出两个不同的高，计算后面积不变。第三题突出逆向思维的发展，发现在平行四边形面积一定时，底和高的变化关系。第四题突出思维的广阔性及深刻性的发展。

编辑∕宋 宇