推陈出新 甄别选拔——评析2022年浙江卷解析几何解答题

郑日锋

(杭州学军中学西溪校区,浙江 杭州 310012)

先来看下以下两道高考试题：

例1如图1，已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点F(0,1).

1)求抛物线C的方程；

2)过点F作直线交抛物线于点A,B，若直线OA,OB分别交直线l:y=x-2于点M,N，求|MN|的最小值.

(2013年浙江省数学高考文科试题第22题)

图1 图2

1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

2)求|CD|的最小值．

(2022年浙江省数学高考试题第22题)

1 命题背景

例2考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，同时考查解析几何的基本思想方法与分析问题、解决问题的能力以及直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.近5年浙江省数学高考解析几何解答题，均与抛物线有关，2022年解析几何解答题将例1中的抛物线问题改为椭圆问题，运算量增大了，解题方法却完全相同.

2 解法探究

第1)小题比较简单，本文仅对第2)小题进行探讨.

(1+12k2)x2+12kx-9=0，

其根的判别式

Δ=144k2+36(1+12k2)=36(1+16k2).

由韦达定理,得

同理可得

y=k1x+1.

同理可得

化简得

同理可得

从而k1,k2是方程36x2-48kx-1=0的两个实根，其根的判别式

Δ=482k2+4×36=144(16k2+1).

由韦达定理,得

评注解法1设点参数，解法2设线参数，两种解法的运算量都较大，解法2的运算量相对小些.再次验证了解决椭圆问题，通常设线参数比设点参数的解题过程显得简便些.两种解法的共同特点是将|CD|表示为关于k的函数，利用柯西不等式求|CD|的最小值.还可以利用判别式法如下：

(9t-16)k2+6tk+t-1=0.

(1)

Δ=36t2-4(t-1)(9t-16)≥0，

3 教学启示

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学分科，它是几何的(研究对象是几何)又是代数的(研究方法是代数的)，核心思想是坐标化思想，主要的数学思想是数形结合思想.解决本题需要学生具备综合运用知识分析问题、解决问题的能力及直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.从知识点看，涉及椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与直线的位置关系，这些都是大部分学生耳熟能详、信手拈来的知识.大部分学生不能完整地解答此题，主要原因有3个：一是解决解析几何解答题的信心不足；二是没有建立解决解析几何解答题的思维导图，如例2，设点参数或线参数→表示点C,D的坐标→用点参数或线参数表示|CD|→用k表示|CD|(即建立目标函数)→求|CD|的最小值；三是运算能力欠缺，这是当下解析几何复习教学亟须解决的问题.

许多高考试题是由课本例题、习题和以往的高考试题改编而成，因此在复习教学中要做到以下3点：一是回归课本,立足于教材，重视教材的使用；二是在考前让学生做一些典型的高考真题(试想如果教师在高考考前让学生解决例1，那么学生能做出例2的可能性就会更大)；三是研究一些高考真题，在课堂上对一些高考真题适当加以延伸、推广等，并引导学生加以解决，从而提升解决问题的能力．