利用解后追问培养学生一般化思想与能力

郑振兴

(乐成公立寄宿学校，浙江 乐清 325600)

0 引言

美国著名数学家波利亚把一般化、特殊化和类比并列称作“获得发现的伟大源泉”[1].一般化是一种重要的数学思想，对学生的思维能力、逻辑推理能力的培养起到关键作用.德国著名数学家雅可比曾说过：“数学史中处处可见一般化，它推动数学不断发展.”日本著名数学家米山国藏认为，应将一般化数学精神铭刻于学生头脑中，才是“真正教育旨趣”.世界著名数学家希尔伯特在一生的数学研究中，特别重视和强调一般化思想的重要性，认为一般化思想是数学解题反思的一个重要方面.

从培养学生能力上看，一般化思想有助于提高学生探究发现能力、抽象概括能力和解决问题能力.从数学解题研究角度看，一般化能归纳出问题解决的通式、通法，有效达成跳出题海，减负增效[2].另外，一般化思想在解题中，能促使学生从个例到类型的抽象、从具象到模型的建立，使数学研究层层递进；数学研究的思维品质得到锻炼，探究精神得到培养.

1 解题教学存在的问题

事实上，有些教师在解题教学中追求多解，只是解法的简单堆积，未能有的放矢地深挖解法背后的教育价值，往往让一些能够从更深层次培养学生解题思维和数学思想的机会从手边“溜走”；有些教师对解题教学中蕴涵的一般化思想提炼不足，特别是缺乏提炼一般化思想的意识和行动，使解题教学与一般化思想形成人为割裂，导致一般化思想的养成、能力的培养少了一个重要阵地.那么，如何在解题教学中有效落实一般化思想的培养？如何助力学生在解题过程中有效养成与提升一般化能力？笔者基于教学经验，与读者分享如何利用解后追问，顺应学生解题思路，创设拓展性问题，培养学生一般化数学思想与能力.

2 解题教学培养一般化思想与能力的实践

2.1 弱化条件，创设结论一般化研究环境

在初中数学几何问题中，当线段、角度和面积这些变量从具体的数(定量)向字母(变量)转化后，便形成一般化探究变式问题，为学生体验一般化思想提供锻炼与养成的机会.通过解后追问创设的探究性问题，促使学生重演解题思路，他们会发现用字母代替数达成从定量向变量转化后，解题的路径、运算的规则、推理的逻辑过程都保持不变；从问题条件变化的角度看，也就是弱化条件，从特殊到一般，创设了提升一般化数学思维与锻炼一般化能力的研究环境.

例1如图1，△ABC的内切圆圆心为O，过点O作BC的平行线，分别与AB,AC交于点D,E.若△ABC的3条边BC,CA,AB的长分别为8,7,5，则DE的长为______.

图1 图2

学生解答1由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用周长之比等于相似比，问题转化为求△ADE的周长.如图2，联结OB，由DE∥BC，OB平分∠B,可得

∠DOB=∠DBO=∠OBC，

从而

BD=DO.

同理可得

CE=EO，

于是

C△ADE=AB+AC=5+7=12.

图3

学生解答2利用勾股方程求△ABC的高，根据两个相似三角形的高之比等于对应边之比.如图3，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F.由AB2-BH2=AH2=AC2-CH2,即

52-BH2=72-(8-BH)2，

解得

从而

设⊙O的半径为R，则

即

继而求得

教师追问若△ABC的3条边BC,CA,AB的长分别为a,b,c.你能用a,b,c表示DE的长吗？

学生解答若△ABC的3条边BC,CA,AB的长分别为a,b,c，则

得

即

追问意图在学生已有的解题思路基础上，通过追问，使条件从特殊转为一般，目的是创设一个能让学生通过已有解题路径顺利突破，达成从数到字母、从特殊到一般的问题探究路径，使学生从中经历一般化思想的应用过程.

2.2 寻求规律，在数式迁移中经历一般化过程

规律探索型试题是各地中考的热点，求解此类问题的关键在于对规律的抽象，从几个图形或数式的变化中寻找规律，探索通式.在教学中，通过解后追问，引导学生建立数式迁移、转化的思维，经历一般化过程，有助于学生巩固一般化数学思想，提升数学一般化能力.

例2将一些相同的“〇”按图4所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有______个“〇”.

图4

学生解答1从图4可以找出“〇”的规律如下：

第1个图：1+2+0×0+2=5；

第2个图：1+3+1×1+2=7；

第3个图：1+4+2×2+2=11；

第4个图：1+5+3×3+2=17；

……

故第30个“龟图”有1+31+29×29+2=875个“〇”.

学生解答2从图4中先数出“〇”的个数分为别：5，7，11和17.再根据“〇”个数的规律为依次+2，+4，+6，以此类推，可得

5+2,5+2+4,5+2+4+6,5+2+4+6+8,….

根据规律得出第30个“龟图”有5+[2+4+6+…+(30-1)×2]=875个“〇”.

教师追问“龟图”中“〇”的个数是否存在规律？你能得出第n个“龟图”中有几个“〇”？

学生解答按照数列规律，第n个“龟图”有5+[2+4+6+…+(n-1)×2]=(n2-n+5)个“〇”.

追问意图在解题教学中，通过对问题的解后追问，从第“30”到第“n”的拓展，达成从数到式的一般化路径，锻炼学生规律探索寻求通式的思维，创设一般化研究路径，达成一般化思想与能力的培养.

2.3 基于猜想，建立结论一般化的探究性思维

猜想与验证是推动数学不断发展的重要手段.学生在求解数学问题时，经常能发现一些“凑巧”，而这恰恰是数学猜想的火苗.引导学生对一些“凑巧”“可能”进行大胆猜想，勇敢验证，是引导学生学好数学、建立研究性思维的契机和必由之路，也是数学一般化思想与能力建设的重要途径.

图5 图6

学生解答如图6，过点M作MC∥AB，当直线MC与抛物线只有一个交点时，MC与AB之间的距离最大，此时△AMB面积最大.先求得直线AB的解析式比例系数k=-1，设直线MC的解析式为y=-x+n，联立方程组

可得

x2+4x-8-2n=0，

Δ=16-4×(-8-2n)=0,

解得n=-6，进而求得M(-2，-4).

教师(不失时机)引导学生发现点M的坐标与直线AB和抛物线两个交点坐标之间的联系.

学生猜想当△ABM面积最大时，由M(-2，-4)，A(-4，0)，B(0，-4)可知

即

亦即点M的横坐标为点A,B横坐标的平均数.

教师追问以上结论是否存在普遍性？对于任意抛物线y=ax2+bx+c与任意直线y=kx+m相交的情形都适用吗？

学生解答作与直线y=kx+m平行且与抛物线y=ax2+bx+c相切的直线，切点为M，此时△ABM的面积最大.设该直线为y=kx+n，从而

ax2+bx+c=kx+n

只有一个解，即

ax2+(b-k)x+(c-n)=0

有且只有一个解.

故

追问意图通过引导学生发现条件与结果的“联系”，提出猜想，利用解后追问驱动学生探索一般性结论.通过建立一般化能力发展的常规路径和研究范式，从而培养学生一般化数学思想.

3 思考

一般化思想建立在数学抽象、概括、推理、验证和计算等能力之上.学生的一般化思想与能力的培养是一个长期过程，不是空中楼阁，不能拔苗助长，需要我们扎扎实实、一步一个脚印地帮助学生慢慢养成.教师要在解题教学中，适时利用解后追问，抓住可拓展、可研究、可一般化的解法思路，以已有思维为基础，引导学生进行一般化探究与验证.引导学生从数到字母、从特殊到一般，关注一般化研究过程，注重一般化思想的点滴累积和循序渐进发展才能有效掌握思想，提高能力.