基于图形内部结构特征的深度思考——以“借助中点构造全等三角形”专题复习教学为例

姜志根

(江山市教育局教研室，浙江 江山 324100)

复习课作为初中数学的重要课型之一，根据不同的角度具有不同的分类，如依据学习的阶段性，复习课可以分为章节复习课、单元复习课、学期复习课、学段复习课等.近年来，逐渐倡导开展微专题复习课研究，旨在对某个知识模块进行深度思考和重点突破，从而培养学生的整体意识和提出问题、分析问题、解决问题的能力.2021年9月，笔者有幸在浙江省衢州市初中数学农村学校课堂教学评比活动中授课，得到了评委及与会教师的广泛好评.现将教学过程和反思整理如下，供大家研讨.

1 课题材料

师：由中点可引出等线段，往往可以通过添加辅助线，构造全等三角形，从而获得边或角的数量关系.现在请你按照以下要求进行教学设计实施教学.

1)授课主题：以“中点与全等三角形”为主题进行全等三角形专题复习教学；

2)内容建议：以浙教版提供的参考习题为基本素材进行教学设计，充分挖掘素材的功能，思考问题的设计，可结合课本例题、习题与作业题,设计问题铺垫分解与改编拓展、延伸等；

3)授课对象：八年级学生.

图1

参考习题如图1，已知AC∥BD，∠AEB=90°，点E是线段CD的中点.请探索AB，AC，BD之间的关系.

2 教学背景分析

2.1 教材分析

本节课的内容为浙教版义务教育教科书《数学》八年级上册(以下统称“教材”)第一章“三角形的初步知识”中全等三角形性质和判定的单元复习课.几何是研究空间结构及性质的一门学科，它是数学中最基本的内容之一.最早的几何学当属平面几何，而平面几何中最简单的图形就是三角形，研究两个三角形之间的关系就显得尤为重要.初中阶段重点研究两个平面图形间的关系是全等和相似.全等是一种特殊的相似，是两个三角形最简单的关系，其性质及判定既是研究封闭图形的开端，也是一种证明边或角相等的重要工具，是几何入门最关键的一步.通过全等三角形研究的问题和方法为后面相似、等腰三角形、四边形、圆等平面图形的学习提供类似的研究路径和方法，它具有承上启下的铺垫作用.

本章还将借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用综合分析法分析条件与结论的关系，用严密的演绎推理书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程.

2.2 学情分析

八年级是学生智力和心理发展的关键阶段，学生的逻辑思维从经验型逐步向理论型发展.学生具备活泼好动、好奇、好表现这一特点，具备一定的逻辑思维能力，但思维的严谨性和全面性还不足.

2.3 教学目标

1)能根据判断三角形全等的条件，掌握两种借助中点添加辅助线的方法；

2)通过生活中测量距离的诸多数学经验，经历观察、猜想、验证、推理等思维活动，对线段或角进行转移构造全等三角形，积累探究线段之间数量关系的活动经验，实现数学方法的迁移，感悟数形结合思想、转化思想等.

2.4 教学方法与教学手段

本课以一个问题为载体，通过设计具有一定梯度的问题，逐步启发学生形成“观察图形→借助中点添加辅助线构造全等三角形→解决线段之间的数量关系”的研究路径，在多个教学环节渗透转化等数学思想，利用“希沃授课助手”等现代信息教育教学手段，帮助学生更好地合作交流.

3 教学过程

3.1 原题呈现，唤醒数学经验

笔者从课本中选择了3道习题作为起始题：

1)课本第29页“做一做”：如图2，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，说明卡钳的工作原理.

图2 图3 图4

2)课本第31页作业题第5题：如图3，为了测出池塘A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上.小红认为只要量出点D，C的距离，就能知道点A，B的距离.你认为正确吗？请说明理由.

3)课本第33页作业题第3题：阅读下面一段文字：

泰勒斯(Thales，约公元前625—前547年)是古希腊哲学家，相传“两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等”就是由泰勒斯首先提出的.泰勒斯利用这个判定三角形全等的依据求出了岸上一点到海中一艘船的距离.

如图4，A是观察点，船P在A的正前方.过点A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点.观测者从点B沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸的距离.请给出证明.

让学生分析这3道题的图形内部结构具有哪些共同特征.

问题1你认为这3个图形的内部结构有哪些共同特征呢？

师生活动通过“原题呈现”的3个问题，让学生回顾全等三角形的判定方法，结合条件寻找解决问题所采用的全等三角形的两个判定方法，即边角边(SAS)、角边角(ASA)；继而教师引导学生深入观察图形并思考图形内部结构的共同特征，提炼概括出点O分别是两条不重叠线段的中点.

教学分析“一题”，即“母题”，其选取是“一课”的关键所在,而起始题与母题有区别.根据建构主义学习理论，教师不可无视学生已有的经验，故在起始题的设计上，应注意具备一定的基础性，将已有的知识作为学生新知识的“生长点”.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在课程设计思路中明确指出:在呈现作为知识与技能的教学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中经历第一次数学抽象，即抽象出数学问题、构建数学模型，进而经历第二次抽象，分析图形内部结构特征，分析条件和结论，找到解决问题的过程.此过程让学生关注到上述3道习题中的图形内部结构特征，积累数学解题经验，为后续教学奠定基础.同时，呈现这些图形的目的是将不可测的距离转化为可测的线段长度，渗透“转化”思想，引出课题.

3.2 问题探究，提炼共性通法

问题2如图5，已知AB∥CD，点E是BC的中点.联结AE，你能借助上面3个问题所积累的数学解题经验，在该图中构造出与△ABE全等的三角形吗？若能，请说说你是如何构造的.

图5 图6 图7

教学分析利用起始题的数学经验，为学生构造全等三角形提供思路：点E是BC的中点，若构造一个三角形与△ABE全等，则点E必是另一条线段的中点，故延长AE至点F，使得EF=AE，如图6可利用“SAS”判定两个三角形全等.由于后面需证点F,C,D在同一条直线上，故引导学生思考更优化的方法，即延长AE与DC交于点F(如图7)，借助平行线得角相等，可利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等.

借助中点构造全等三角形的方法展示和分享，师生共同归纳添加辅助线的作法.

追问1DF,AB,CD有什么关系？

教学分析通过构造三角形全等，将线段AB转化为线段CF，即DF=CF+CD=AB+CD，体现了转化思想.

追问2DF与AD一定相等吗？

追问3联结DE，需添加什么条件，使DF=AD？此时，AD,AB,CD有什么关系？

教学分析证明两条线段相等，可构造两条线段所在的两个三角形全等.教师引导学生分析已有条件AE=EF，DE=DE(公共边)，启迪学生在已有两边对应相等的情况下添加条件，使△ADE≌△FDE，从而自然地想到使两边的夹角对应相等，即∠AED=∠FED或DE⊥AF.再次构造三角形全等，将线段AD转化为线段DF，即AD=DF=CF+CD=AB+CD.师生整理归纳解题方法，再次领悟问题2所蕴涵的转化思想.

3.3 互逆思维，追求触类旁通

问题3如图8，已知AB∥CD，点E是BC的中点，AB+CD=AD.求证：AE⊥DE.

教学分析把结论与其中一个条件互换，让学生自己尝试利用添加辅助线的方法，构造全等三角形(SSS)，继续渗透“转化”思想.教师巡视学生解题过程的书写，发现有的学生采用“倍长，联结”的方法，却未证明三点共线.

通过以上一个个问题串的设计，让学生能够借助中点，掌握两种添加辅助线的方法，构造全等三角形，实现线段之间的转化，从而解决3条线段之间的数量关系等问题.

图8 图9

3.4 拓展延伸，促进思维生长

问题4如图9，在△ABC中，AD是边BC上的中线，试比较AB+AC与2AD的大小.

教学分析本节课从解决线段之间的等量关系拓展延伸到不等关系.该题源于浙教版《数学》八年级上册作业本上的一道习题.在讲解时，很多学生一知半解.通过本节课的学习，学生可以真正“知其然，且知其所以然，知何由以知其所以然”.

3.5 课堂小结，建构方法序列

1)归纳总结，自我提升：学到了什么数学知识，体验了什么数学思想方法，想进一步研究的问题是…….教师总结本节课研究问题的基本路径，展示思维导图，使学生知识框架的建构更具有整体性、连贯性和系统性，引导学生从整体宏观的角度去思考问题，让学生再次感悟数学思想方法等.

2)作业布置(略).

4 教学反思

4.1 唤醒解题经验，让思维发散

本节课先呈现课本上有关全等三角形的3个同类问题，唤醒学生已有的数学经验.通过学生观察、比较、分析、抽象归纳出图形的内部结构特征，寻找解决一类问题的共性通法，达成一叶知秋、层林尽染之效果.在问题设置环节，逐步递进，给予学生更多的时间思考“为何添加辅助线，为何要构造三角形全等，如何借助中点添加辅助线，探索线段间的数量关系等”，形成一题多解、一题深思的学习状态，有助于学生开阔思维视角，形成发散性思维，促进学生的深度思考和智慧生成，提高对问题研究的深度和广度，实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

4.2 思辨说题过程，让思维可见

数学是思维的体操，如何让学生的隐性思维显性化，为此笔者对问题2～4均采用让学生“说题”的方法，充分体现了学生的主体意识，展示了学生解决问题的思考过程、采用的思维方式、问题解决的策略及依据，使思维可见.经过多位学生的不同“说题”和师生的梳理归纳，让学生自我建构起解决问题的一般路径和方法.这种形式既有助于教师改变传统的复习课讲授模式，还可以培养学生的语言表达能力、逻辑思维能力、捕获处理信息的能力及综合运用能力，树立学生的批判性思维和解决问题的实践能力，从而全面系统地复习全等三角形的性质和判定，进而落实立德树人的根本任务.

4.3 拓宽研究视角，让思维生长

数学知识并非孤立存在的，知识之间有着千丝万缕的联系.问题4从解决线段之间的等量关系，拓宽延伸到不等关系，是学生前面的学习经验建构新知识的思维自然生长.本环节旨在让学生能感知到方法的通用性和普适性，即遇见中点问题可以通过构造全等三角形来证明线段间的和(差)相等或不等关系等，方法有“倍长中线法”或“作平行线法”，这样学生对本题的认识就更全面、更系统，更能有效提高数学课堂的教学效果.