基于核心素养的“锐角三角函数”教学设计

顾 勇, 尹 平

(1.正余初级中学，江苏 南通 226153；2.海门中学附属学校，江苏 南通 226150)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)这样描述：数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象能力和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展.而数学核心素养包含数学思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现[1]．由此可见，数学核心素养是对《课标》的继承和发扬．而摆在一线数学教师面前的一个非常现实的问题，就是如何在数学课堂教学中落实对学生核心素养的培养.笔者以人教版《数学》九年级下册第二十八章“锐角三角函数”的教学设计为例，依学定教，合理设计探究问题，发掘知识的承载和育人功能，将数学核心素养落到实处.

1 学情分析

学习“锐角三角函数”一课之前，学生已经具备了“函数”概念和相似三角形的性质(相似三角形对应边的比相等)的知识储备.而锐角三角函数源于对直角三角形边角关系的研究，初时只研究三角比，后受函数思想的影响才发展成三角函数，这也是学生在探究“锐角三角函数”概念时的一个难点.因此,在教学时要着重引导学生从两个角度认识直角三角形中一个锐角与两边比值之间的函数关系：1)当直角三角形的一个锐角确定时，任意两边的比值是一定的,即相似三角形的性质可以保证两个直角三角形的大小不同，只要锐角一定，任意两边的比值就不会变(即唯一确定);2)当直角三角形的锐角度数改变，其所对应两边的比值就会随之而改变，从而确定锐角和两边的比值为函数关系，并理解锐角是自变量，两边的比值是锐角的函数．故本课的教学目标设定为：1)经历正弦函数概念的探究过程，掌握基本的研究方法；2)理解锐角三角函数的概念并进行相关计算；3)获得探究数学的成功体验，增强数学学习的信心.

图1

2 学习过程

2.1 复习回顾，导入新课

问题1根据图1所示的直角三角形，借助其要素间的关系,你可以回顾哪些知识？章前图中比萨斜塔问题是直角三角形中哪些要素关系的继续研究？

设计说明借助直角三角形的直观形象复习回顾已学知识.这时如果单纯对知识点进行“散点式”归纳整理，那么学生最多只能回顾勾股定理和∠A+∠B=90°.而培养学生抓住要素关系分析整理，学生知识整理的完整性就会好很多：边边关系即三边关系(两边之和大于第三边、勾股定理)、角角关系即两个锐角关系(互余)、边角关系(大边对大角).再通过教师的结构性板书展示，学生的脑海中就会形成知识网络，使零散的知识系统化、结构化，从而将多个概念的联系串珠成链.斜塔问题是已知两条直角边求其锐角，学生会意识到之前建构的边角关系(大边对大角，小角对小边)，只能起到定性分析问题的作用.当我们需要定量分析问题时，发现手中的知识工具不够了，从而形成批判性思维，产生深入探究新知的冲动，让学生认识到知识学习是螺旋上升、从“定性”走向“定量”的，引导学生在思维层次上更进一步.

2.2 运用史料，增“兴”强“思”

图2

问题2公元前3世纪，古希腊著名天文学家阿利斯塔克开创了太阳、月亮与地球距离之比以及太阳、月亮、地球三者大小之比的测量.阿里斯塔克在月亮半圆的时刻，测得日、地、月的中心S，E和M恰为一个直角三角形的3个顶点(如图2)，并且测得∠ESM=3°.你认为结合以上条件，阿里斯塔克能计算出地球到太阳的距离(ES)是地球到月亮距离(EM)的几倍吗?

设计说明重视数学史,笔者的想法是比萨斜塔问题所涉及的是两条直角边和锐角的关系，虽说正弦、余弦和正切是3个独立的概念，但在边角关系中，30°的直角边与斜边的关系更深入学生的脑海.这样的安排有两个目标：一是尊重人教社的教材编排意图；二是尊重学生的经验.同时阅读兴趣广泛的学生早已知晓答案是395倍，这样更能激起其他学生的好奇心，但好奇之后仍无法想通395倍是怎么来的，如此就形成了“最近发展区”的“第二发展水平”.

2.3 依托特殊，完善猜想

问题3如果把问题2中的“∠ESM=3°”改为“∠ESM=30°”，那么你能求出ES是EM的几倍吗？改变三角形的大小，这个结论还成立吗？再换一个度数试试，你还能求出ES是EM的几倍吗？请说明理由.

(小组讨论.)

设计说明问题3对问题2起“支架”作用，就如布鲁纳等人所说“以最近发展区作为教师介入的空间，为学生提供支持，促使学生主动而有效的学习”.“含有30°的直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍”这一结论在学生脑海中根深蒂固，而且学生会发现这一结论不会因为三角形大小的改变而改变.其实理解能力强的学生已经有了解决问题的最初想法(在草稿纸上画一个含有30°角的直角三角形，量一下直角边和斜边算出倍数)，为了增加他们对自己猜想的信心和继续启发还没有捅破那层窗户纸的学生，设置了继续举例(如45°,60°)，再借助小组讨论，进一步坚定了把三角形缩小的想法.如华罗庚先生所说：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．这样引导下的问题探究可以促进课堂生长、学生发展，形成从“已知区”到“最近发展区”的自然过渡，揭示从特殊到一般、从有限到无限的数学思想.

2.4 证明猜想，形成概念

问题4结合上面3个问题的研究，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A取定一个度数的锐角时，它的对边和斜边的比值是否会因为三角形大小的改变而改变？请说明理由.当∠A的度数发生变化时，这个比值会变化吗？

设计说明问题4是对上面猜想的合理性给予的逻辑证明.为了三角函数概念的规范性，问题4中加入了数学的规定，把“几倍”转换成“比值”.这样就可以把新问题的研究纳入已有的知识结构中来，学生自然而然就能想到可以用三角形相似的知识来解决问题，形成知识之间的联系.找到相似三角形的性质是学习锐角三角函数概念的基础.事实上，也只有借助“相似三角形的对应边成比例”才能证明锐角三角函数概念的合理性，但教师不能只告诉学生正弦就是一个锐角所对的直角边与斜边的比值，这样其函数的味道就淡了.同时还要让学生的思维层次再进一步，要能清晰地认识到“这个比值只与倾斜角有关,与直角三角形的大小无关”．因此，在后面马上跟进了追问“当∠A的度数变化时，这个比值变化吗”.因为从“线段比”定义正弦到“函数观点”认识正弦、到用符号表示正弦是正弦函数的成长蜕变史，所以今天所学是对初三学生的又一次认知发展．将直角三角形从“30°,45°和60°”到3°再到任意度(大于0°小于90°)，蕴涵着从特殊到一般、从有限到无限的数学思想.

2.5 类比迁移，再探新知

问题5在Rt△ABC中，∠C=90°，类比正弦函数的研究思路，∠A的邻边与斜边的比值是否也可以表示为∠A的另一种三角函数？∠A的对边和邻边的比值是否又可以表示为∠A的又一种三角函数？

设计说明许多数学对象的研究都是有“通法”的，掌握其中一个对象的研究套路(程序、原理等)，就能自主并有效地探究其他对象，提高学生的学习力．类比是一种常用的教学方法，也是一种重要的思维方式.在正弦函数概念的形成过程中，可以帮助学生再次利用“相似三角形对应边的比相等”，探究得到∠A的另外两个三角函数(余弦函数和正切函数).这样教学内容就能从“单线呈现”转向“结构化生长”.数学学科本就是结构性很强的一门科学，知识之间的内在联系不应该被割裂.在结构化的知识体系统摄下学习，学生非但不会因为多学了余弦和正切概念而对正弦函数概念产生干扰，反而很好地突出了数学知识的整体性、结构性和联系性.引领学生在已有知识经验的基础上进行相近知识的主动建构，可以实现学生认知结构中数学知识的自然结构化生长，有助于知识串线结网，发展数学核心素养.

2.6 例题讲解，理解概念

图3

例1如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求sinA,cosB,tanA的值.

设计说明因为是新授课，教师要规范书写格式，但前提还是学生的独立完成.通过对例题的思考与解答，可以帮助学生进一步理解和熟悉概念；通过问题的刻意设置，还能有意识地引导学生发现当∠A与∠B互余时，相关三角函数之间会存在一定的规律，如sinA和cosB相等，tanA与tanB互为倒数等.

2.7 反思小结，能力提升

师生共同反思：

1)通过本节课的学习，你对直角三角形的性质又有了哪些新的认识？

2)在锐角三角函数中，谁是谁的函数？

3)通过本课学习，你感受到了哪些数学思想方法？

4)你对课堂上哪个问题的研究还有遗憾？

设计说明前3个问题是帮助学生系统全面认识课堂中所学知识、技能和方法的过程.实践证明:课堂小结是课堂教学的重要环节之一，是在分析和解决问题之后的思维提炼，它不仅有助于学生形成良好的认知结构，掌握学科思想方法，还能促进学生良好思维习惯、认知方式的形成和批判性思维的发展.问题4能够培养学生“发现和提出问题”的能力，例题的解决还可以让学生发现3个三角函数之间的数量关系，为下节课的学习做好铺垫.

3 核心素养要求下的设计思考

3.1 在数学情境中培养学生的人格素养

数学情境是指在科技、人类和社会的进步与发展中有杰出贡献和积极意义的数学人文活动.罗增儒教授这样定义数学情境，即数学情境具有抽象数学模型的必要因素和必要形式，是数学概念的原型、故乡和源泉，是学生认识抽象数学模型的“认知基础”，它能生动地显示相关概念的基本性质，呈现相关法则的基本结构[5].因此，要用好数学情境，帮助学生形成正确的数学观念、思想和方法；从情境中发现数学求真、求善和求美的理性精神.本文选择了比萨斜塔和阿利斯塔克测量地球到太阳的距离与地球到月亮距离的倍数关系，两个情境都体现了创新、创造的科学精神和理性思维、质疑批判、勇于探究的数学精神.阿利斯塔克问题的解决展示了数学总喜欢将特殊向一般“推广”,创造出更一般的“数学”,从而扩展数学的应用价值.

3.2 在探究中培养学生的关键能力

在问题的探究中，学生可以运用实验、操作、归纳、猜想、类比等合情化手段多角度地探索和尝试，这有利于学生数学思维方法的调整与优化，不只局限于单一性的数学逻辑推理和模仿，还会调动学生的抽象思维、逻辑推理的积极性，使得学生在注重数学逻辑思考的同时，又能发展逆向思维能力.在数学问题探究动力的牵引下，学生更容易进入一种思维情境并因此更加主动、清晰、深入、系统地思考，从而让学生的思维从低阶走向高阶，追求更有价值的数学思考和数学探索.

3.3 在归纳和小结中培养学生的思维方式

教学设计不应过于偏重知识内容的呈现，学生要真正掌握数学的概念和定理，首先就要领悟知识内容背后所蕴涵的数学思想方法和数学思维方式(即逻辑推理).这时归纳和小结的作用就尤为重要，这一环节既能帮助学生厘清数学概念“从哪里来，往哪里去”；又能让学生学会“如何观察”“如何发现”，还能培养学生按照“是什么”“为什么”“如何做”等进行逻辑思考，使知识内容在学生脑海中以循序渐进、层次分明的思维框架呈现[6].因此，归纳和小结是学生思维活动的动力与核心，是形成形象思维、直觉思维、抽象思维、正向思维、逆向思维、逻辑思维以及创造性思维的有效途径.

4 后记

数学问题是数学教学的重要基础，教学设计是数学教学的重要环节.只有设计出有价值的问题，配合科学的教学设计，才能促进学生数学知识、数学思想方法的积累和生长，数学核心素养才会落地生根.核心素养强调的是学生养成适应社会发展与终身发展的必备品格与关键能力.学生的主体地位是关键，设计的数学问题必须关注学生数学认知发展的水平、已有数学知识的基础、数学问题探索的经验，始终把促进学生终身发展放在首位[4].

问题1帮助学生学会“有逻辑地思考”问题，培养学生思维的条理性.问题2中的数学史能激发学生学习的好奇心，补充三角函数的发展史.学生在得知“395倍关系”后更会激起求知欲．思考问题最朴素、最常用的方法就是“利用已知来研究未知”，如果不能在正向思维(从已知到未知)下求出，那就从逆向思维(从未知到已知)着手，寻找一个适当的与其有关联的问题，引导学生从现实和经验出发，经历实践、猜想、验证等思维过程，将“四基”“四能”落到实处.优化课堂教学结构，精心设计关键教学问题，使学生的数学思维方式、数学关键能力、人格素养得到更好的发展.