发现“新” 挖掘“材” 渗透“法”——用直线的参数方程解决与长度有关的解析几何问题

赵金丽

(1.余杭中学，浙江 杭州 311121；2.陈柏良名师工作室 浙江 杭州 311121)

在新教材的实施与浙江卷即将回归全国卷的“双新环境”下，我们既要关注全国卷的特色，又要挖掘新教材中的思想，渗透新教材中的方法.直线的参数方程是新教材中的探究与发现内容，本文着重阐述利用直线的参数方程解决部分与长度有关的解析几何问题，并展示在具体的解题教学过程中与学生发生的一段小插曲，用来完善整个解题路径和方法.

本文以浙江省杭州地区八县市2021学年高二上学期数学期末统测第21题为契机，追根溯源，发现该题是2021年全国数学新高考Ⅰ卷第21题的一个改编创新题，这正与2023年浙江卷回归全国卷的大背景契合.因此，本文主要是在上述两个题目的基础上进行系统阐述和研究.

1 阐述概念，铺设路径

用直线的参数方程解决与长度有关的解析几何问题，需要掌握直线的参数方程的概念，这是人教A版高中《数学(选修1)》第68页中的探究与发现内容——方向向量与直线的参数方程.

图1

(x-x0,y-y0)=t(m,n)，

(1)

在式(1)中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一的实数t使式(1)成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由式(1)可以确定直线l上的一个点P(x,y)，我们把式(1)称为直线的参数方程.

而我们在具体做题时常常选择v=(cosθ,sinθ)，这样的方向向量可以表示任意直线，而且是单位向量，模长为1，进而可以把线段长度直接用t1,t2或者其绝对值去表示，在计算上和表述上带来很大的方便.

2 展示初题，呈现方法

1)求C的方程；

(2021年全国数学新高考Ⅰ卷第21题)

思考1如何假设直线的参数方程？

思考2当直线和曲线方程联立后形成关于t的方程，根是什么？

因为方向向量为单位向量，所以根据参数的几何意义，恰好有|TA|=t1，|TB|=t2，且方程的根为t1,t2.

思考3已知条件可以转化成什么？如何解决目标？

对于条件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可以利用韦达定理转化成直线AB与PQ倾斜角之间的关系，进一步转化成斜率的关系，从而解决目标问题.

思路全部整理清楚后，解题过程如下：

将其代入C的方程，整理可得

(16cos2θ-sin2θ)t2+(16cosθ-2msinθ)t-(m2+12)=0.

由参数的几何意义可知

|TA|=t1, |TB|=t2,

则

设直线PQ的参数方程为

则

|TP|=λ1, |TQ|=λ2，

同理可得

从而

于是

cos2θ=cos2β.

又

θ≠β，

得

cosθ=-cosβ，

从而

cosθ+cosβ=0，

即直线AB与直线PQ的斜率之和为0．

总结利用直线的参数方程解题时，首先要明确起始点，选取合适的方向向量，正确假设出直线的参数方程.在利用方程的根表示线段的长度时，一定要明确方程的根和线段长度的关系.

3 改编初题，结合新法

杭州地区八县市2021学年高二上学期数学期末统测第21题是上述高考题的改编题.命题人把原题中的长度关系的乘积改编成比例关系，因此在具体解题过程中出现了不一样的细节.对于陈题的改编，既可以补充题库的不足，又可以进行解题方法的创新，正有“无边光景一时新”之感.

1)求双曲线C的方程；

(浙江省杭州地区八县市2021学年高二上学期数学期末统测第21题)

bx+ay=0，

从而

a2=3,b2=6，

对于第2)小题，我们先思考以下问题：

思考1本题与准备题有何不同？

本题线段长度符合比例相等的关系，而准备题是线段长度符合乘积相等的关系，这会导致在具体解题过程中出现不同的解题细节.

思考2上述不同会导致解题方法有何不同？如何解决？

当线段长度符合比例相等关系时，韦达定理不能直接使用，要经过变形才能建立两条直线之间的关系.解答如下：

2)解设T(0,m)，直线AB的参数方程为

将其代入C的方程，整理可得

(2cos2θ-sin2θ)t2-2mtsinθ-(m2+6)=0.

由参数的几何意义可知

|TA|=t1, |TB|=t2，

则

设直线PQ的参数方程为

则

|TP|=λ1， |TQ|=λ2.

依题意可知

从而

sin2θcos2β=cos2θsin2β.

又

θ≠β,

得

sinθcosβ=-cosθsinβ,

从而

θ+β=π,

即直线AB与直线PQ的斜率之和为0．又因为

kABkOM=kPQkON=e2-1，

所以

kABkOM=-kABkON，

从而

kOM+kON=0.

总结在该题中，我们需要根据题目条件得出各横坐标之间的比例关系.本质上是出现了AP∥BQ，要达到这个平行，两条直线的斜率只能互为相反数.然后统观全局，这个横坐标的比例从哪里来，这就提示我们要对韦达定理进行变形，即

再得出k1和k2的关系，从而解决问题.

4 布置新题，渗透此法

图2

1)求曲线w的方程；

2)如图2，过点F作互相垂直的直线l1,l2，分别交曲线w于点A,C和B,D，求四边形ABCD面积的最小值.

4.1 揭示通性，展示通法

分析本题利用通性通法求解也是方便的，利用弦长公式求出|AC|和|BD|，得到目标函数后结合基本不等式求出最值.

1)由题意可得x2=6y.

x2-6kx-9=0.

由韦达定理可知

x1+x2=6k,x1x2=-9，

=6k2+3,

从而 |AC|=y1+y2+p=6k2+3+3=6k2+6.

同理可得

当且仅当k=±1时取到最值.

4.2 出现错解，心存疑惑

在具体教学过程中，笔者碰到如下小插曲：某学生在知道常规方法的正确答案后，尝试用直线的参数方程求解，却怎么也解不出来.

t2cos2θ-6tsinθ-9=0.

又|FA|=t1，|FB|=t2，得

从而

此时最小值变成36了.学生百思不得其解：计算没有出错，也按照老师的步骤解答了，为什么会出现错误的答案，问题究竟在哪里呢？

4.3 固本浚源，茅塞顿开

总结利用直线的参数方程解题时，除了要能够顺利写出直线的参数方程之外，还要能够正确写出韦达定理，明确线段长度与方程根的关系.当线段的方向向量相反时，根可以表述为t1和-t2，这样能保证长度仍可用t1和t2表示.

在该环节中，通过上述题目的练习以及错误尝试，学生基本掌握了直线参数方程的用法，也能够尝试用直线的参数方程解决部分与长度有关的解析几何问题.但在具体解题过程中仍然可能出现困惑，需要教师不停地引导和纠正，当学生通过实践探索，经历由错到对的过程，必将豁然开朗.

5 构建解题过程，整饬解题路径

经过以上4个过程，我们整理了用直线的参数方程解决部分与长度有关的解析几何问题的一般步骤，使得整个问题更加清晰.

解析几何就像拥有魔力一样，既让学生爱，爱它在变化中有不变的元素；又让学生恼，恼于纷繁复杂的计算.因此对于一类与距离或者长度有关的解析几何问题，我们可以用直线的参数方程去解决，也可以用新的视角去审视它、用新的路径去拓展它，这也是数学思维上的一种反刍.