浅谈一类几何最值的代数解法

2022-07-24冯俊王芳

数理天地(初中版) 2022年7期

冯俊王芳

【摘要】几何的最值问题牵涉面较广，与平移、旋转、轴对称或中心对称等几何变换都有着较大的关联.本文就一类几何最值问题从简单的一条线段确定最值到多条线段之和取最值问题进行深入探究，发现代数法也是其解决途径之一，多角度研究线段最值问题并形成比较，从而为深层次理解数形结合奠定了基础.

【关键词】最值问题;几何变换;代数法;数形结合

1 模型初探

在使用几何方法难以处理问题时可以直接使用代数的方法，即将所要求的的线段进行代数化表示.若仅为一条线段，则可以表示为关于一条线段的一次函数或者二次函数等形式;利用函数的最值确定线段的最值.

比如：如图1，已知AB=10，点P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP，BP为边作等边三角形APC和等边三角形BPD，试确定CD的最小值.

这一问题采用代数的方式实质是表示线段CD的长度，可设PB=x，则AP=10-x;作DE⊥CP于點E.根据三角函数知识得：

PE=12x，DE=32x;

于是CE=10-x-12x=10-32x，

那么CD=CE2+DE2

=10-32x2+32x2，

整理得CD=3（x-5）2+25，

所以x=5时，CD取得最小值5.

2 提出问题

如图2，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E，F为边AC，BC上的两个动点，且AE=CF，连接BE，AF，则BE+AF的最小值为.

3 问题解决

解法1 题目需要确定BE+AF的最小值，此时BE+AF是两条相交线段，并且属于两个动点到两定点的距离之和.基本思想是利用“折转直”的思想方法将BE，AF调至一条直线上.根据AE=CF这一条件，应在AE处构造直角三角形，使得AF可以转换为EG，这样BE+AF就可以进行转化.

过点A作AG⊥AE，且AG=AC，如图3所示，连接EG.

易证△ACF≌△GAE，

于是EG=AF.

那么BE+AF=BE+EG≥BG，

过点G作GH⊥BA于点H，

因为AC=BC=2，

所以GA=2，AB=2，

所以AH=GH=1.

则GB=GH2+HB2=10，

于是BE+AF的最小值为10.

这一方法的关键在于构造△GAE，并且△GAE不是由△ACF经过平移或者旋转得来，这样无形中增加了问题的难度.同理在图4中将BE转换成FM也能处理问题.

于是BE+AF=AF+FM≥AM.

解法2 如图5，因为

AE=CF，

于是可设AE=CF=x，

所以CE=2-x，

所以AF=AC2+CF2

=2+x2，

所以BE=BC2+CE2=2+（2-x）2，

所以BE+AF=2+（2-x）2+2+x2.

不难发现，BE与AF均可以看成直角三角形的斜边长，于是构造图6，将AF，BE分别用斜边A′P′以及斜边D′P′表示，根据两点之间，线段最短，得

BE+AF=A′P′+P′D′≥A′D′，

过点D′作D′Q′⊥A′B′于点Q′，

所以A′D′=A′Q′2+D′Q′2

=22+（22）2

=10，

那么BE+AF的最小值为10.

代数法的解决实质就是用运算的方式表示线段的长，若只确定一条线段的最值，一般可表示成关于某个变量的函数关系式，利用函数的最值性可以获得最值.若确定多条线段的最值，则会产生新的几何问题.此方法不需要理会原图中如何进行几何变换才能将两条线段进行“折转直”，这样绕开了进行平移、旋转或对称带来的困扰.其原理表示为如图7，

MN=a2+（c-x）2+b2+x2

≥（a+b）2+c2.

4 问题拓展

拓展1 （等腰直角三角形的边长为一般情形）：其他条件不变，AC=BC=a，则BE+AF的最小值为.

问题解决：根据上述代数法的运算过程，不难发现BE+AF=a2+（a-x）2+a2+x2，于是可以得到BE+AF≥（2a）2+a2=5a.

拓展2 （一般的直角三角形）：直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，E，F为边AC，BC上的两个动点，且AE=CF，则BE+AF的最小值为.

问题解决：依然假设AE=CF=x，则BE+AF=a2+（b-x）2+b2+x2;

于是可以得到BE+AF≥（a+b）2+b2.

拓展3 （两个动点分别位于直角边与斜边）如图8所示，直角三角形ABC中，BC=a，AC=b，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE=CF，求AF+CE的最小值.

问题解决：假设AE=CF=x，

则AF=x2+b2;

过点E作EH⊥AC于点H.