二次根式化简中的方程思想

陆爱容 张开金

二次根式运算技巧性强，方法灵活多变，是初中代数部分的一个难点.若能根据所给二次根式的特征，巧用换元法，则将起到化难为易，提高解题速度，收到事半功倍的奇效，而且有助于培养我们分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.本文列举用换元法来处理竞赛题中二次根式的化简、求值问题，供同学们参考.

例1 若（3+22）x+（3-22）x=6，则x=（）

（A） 2. （B）-2. （C）±2. （D）±12.

分析 由（3+22）（3-22）=1得（3+22）x与（3-22）x互为倒数.

解 设（3+22）x=y，则

（3-22）x=1y，

所以y+1y=6，

即y2-6y+1=0，

解得y=3±22，

当y=3+22时，得x=2，

当y=3-22时，得x=-2.

故选（C）.

例2 化簡3+52-3-52=（）

（A）25.（B） 2.（C） 1.（D） 5.

分析 用a表示所求的值，先求出a2的值.

解 设3+52-3-52=a，

易知a>0，

故a2=3+52+3-52-23+52×3-52，

即a2=3-2，

所以a=1，

故选（C）.

例3 使等式1+1+a=3a成立的实数a的值为.

分析 令x=1+a，再将a用x表示，先求出x的值.

解 由所给等式，可得

（1+1+a）3=a2，

设1+a=x，得x≥0，

且a=x2-1，

所以（1+x）3=（x2-1）2，

即（1+x）3=（x-1）2（x+1）2，

所以（x+1）2（x2-3x）=0，

解得x=-1（舍去），x=0或x=3，

所以a=-1或a=8，

验证可知：a=-1是原方程的增根，a=8是原方程的根，

所以实数a的值为8.

例4 化简：

2016201520142013×2011+1+1+1+1.

分析 由被开方数的特点，可设a=2013，

则a（a-2）+1=（a-1）2，

（a+1）（a-1）+1=a2，

（a+2）a+1=（a+1）2，

（a+3）（a+1）+1=（a+2）2.

解 设a=2013，则原式

=（a+3）（a+2）（a+1）a（a-2）+1+1+1+1

=（a+3）（a+2）（a+1）（a-1）+1+1+1

=（a+3）（a+2）a+1+1

=（a+3）（a+1）+1

=a2+4a+4

=a+2，

即原式=2015.

例5 化简：263+2-5.

分析 我们可以用a，b，c表示3，2，5，这样就将二次根式化简转化为分式化简.

解 令3=a，2=b，5=c，

则a2+b2-c2=0，

26=2ab，

故 263+2-5=2aba+b-c

=2ab（a+b+c）（a+b-c）（a+b+c）

=2ab（a+b+c）a2+b2+2ab-c2

=a+b+c，

即263+2-5=3+2+5.

例6 化简：

1997（1997-1999）（1997-2001）+

1999（1999-1997）（1999-2001）+

2001（2001-1997）（2001-1999）.

分析 如果直接化简，很繁琐，通过巧设未知数就能将二次根式化简转化为异分母分式加减.

解 设1997=a，1999=b，2001=c，

则原式=a（a-b）（a-c）+b（b-a）（b-c）+

c（c-a）（c-b）

=a（b-c）-b（a-c）+c（a-b）（a-b）（a-c）（b-c）

=ab-ac-ba+bc+ca-cb（a-b）（a-c）（b-c）

=0.

例7 化简：111556.

分析 显然111556=4×27889，

故只需求27889的值.

解 因为1602=25600，

1702=28900，

所以160<27889<170，

设27889=160+x，

所以（160+x）2=27899，

即x2+320x-2289=0，

又因为只有32=9或72=9，

而2289=7×327，

且320=327-7，

2289=3×763，

所以x2+320x-2289=0必有一个根7.

所以（x+327）（x-7）=0，

x1=-327（不合题意，舍去），x2=7，

所以27889=167，

故得111556=334.