不等式组的整数解

任亚男

【摘要】 大家在学习一元一次不等式不等式组时，经常会遇到求不等式（组）的整数解的问题.解这类问题一般分为两个步骤：第一步，计算这个不等式（组）的解集;第二步，根据计算出的解集，写出不等式（组）的整数解.本文对此类问题进行分类分析.

【关键词】 不等式组;整数解

1 不等式的解和解集

不等式的解：使不等式成立的未知量的值稱为不等式的解.不等式的解集指的是不等多的所有解的组合.不等式的解集可以在数轴上进行可视化地展示，实际展示的方式是首先明确边界点，解集包含边界点，用实心圆点表示，不包含边界点，用空心圆圈表示.然后阐明方向：大向右，小向左.

不等式的解与一元一次方程的解存在较大差异.不等式的解是一个范畴，而一元一次方程的解是一个明确的值.

1.1 不等式的基本性质

不等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，不等号的方向不会改变.如果在不等式左右两端同时“乘”或“除”相同的正数，那么不等号的方向保持不变.如果等式左右同时“乘”或“除”相同的负数，那么不等号的方向与之前相反.”任意两个实数a，b的大小关系有以下三种可能：

①a-b>0a>b.

②a-b=0a=b.

③a-b<0a<b.

1.2 一元一次不等式

一元一次不等式指的是不等式只存在一个未知数，同时未知数的次数是1，且未知数的系数不等于零.其一般形式是

ax+b>0或ax+b<0（a≠0）.

1.3 一元一次不等式组

由许多未知量相同的一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组.要想准确辨别不等式是否为一元一次不等式组，应该根据以下两点：

（1）不等式左右形式相同且都是一元一次不等式，且未知量相同;

（2）不等式组中不等式的个数至少为2，即可以是2，3，4或更大的数.

1.4 一元一次不等式组的解集

不等式组的解集主要指的是不等式组中每个一元一次不等式的解集中的相同部分，整数解则是解集中存在的整数.

1.5 不等式组解集的确定方法

总体分为四种情况：（设a>b）

不等式组x>a，x>b的解集是x>a;

不等式组x<a，x<b的解集是x<b;

不等式组x<a，x>b的解集是b<x<a;

不等式组x>a，x<b无解.

1.6 解一元一次不等式组的步骤

第1步 逐一解出每个不等式的解或解集.

第2步 在数轴上画出每个解集，它们的共同部分就是不等式组的解集.

2 求不等式组的整数解

例1 解不等式组-12x≤2-x，5x-1>3x-4，①②并求其整数解的和.

分析 要想求出整数解的合，应先求出其所有整数解，首先应该求出不等式组的解集.

解 解①，得x≤4;

解②，得x>-32，

故不等式组的解集是-32<x≤4，它的整数解是-1，0，1，2，3，4，整数解的和是

-1+0+1+2+3+4=9.

2 利用整数解求字母系数的范围

例2 关于x的不等式组x+152>x-3，2x+23<x+a只有4个整数解，则a的取值范围是（）

（A）-5≤a≤143.

（B）-5≤a<-143.

（C）-5<a≤-143.

（D）-5<a<-143.

分析 本题是有关不等式组解集的逆用.解答这类题目，应先确定不等式组的解集，再根据相应法则列出系数中未知字母的关系式，从而求出未知字母的取值范围.

解 原不等式组可化为x<21，x>2-3a，

因为不等式组只有4个整数解，

所以16≤2-3a<17，

解得-5<a≤-143，

故应选（C）.

3 利用不等式的整数解求代数式的值

例3 已知不等式5（x-2）+8<6（x-1）+7的最小整数解是方程2x-ax=3的解，求代数式4a-14a的值.

解 解不等式，得

x>-3，

所以满足此不等式的最小整数解是-2.

把x=-2代入方程2x-ax=3中，得

2×（-2）-（-2）a=3，

整理，得-4+2a=3，

解得a=72，

所以4a-14a=4×72-14×27=14-4=10.

4 利用不等式的整数解解决实际问题

例4 某果园有3个种植小组，希望在10天之内种植500棵果树（每个小组每天平均种植数量一致），如果按照计划种植速度将无法完成种植任务，需要每个小组每天多种植1颗果树，这样才能在规定期限内完成种植任务，求每个小组每天的计划种植量.（结果取整数）

分析 解答本题首先要挖掘出题目中隐含的不等关系，即“不能完成任务”和“提前完成任务”，构建不等式组模型，其次要注意结果应取整数，即求整数解.

解 设每个小组原先每天种值x棵果树，根据题意可得

3×10x<500，3×10（x+1）>500，

解得1523<x<1623.

因为x的值应是整数，

所以x=16.

答：每个小组原计划每天种值16棵果树.

5 利用不等式的非负整数解确定最大值

例5 小华、小丽一起去超市买同种彩笔和橡皮，请依照以下对话内容解答问题：

小华：叔叔，我想买3支彩笔、2个橡皮，一共多少钱？售货员：刚好19元.

小丽：叔叔，那我买1支彩笔、3个橡皮，需多少钱呢？售货员：正好需11元.

（1）求出1支彩笔和1个橡皮各需多少钱？

（2）小华现有20元钱，需买1支彩笔，还想再买一些橡皮，那么她最多可买多少个橡皮？

分析 本题是二元一次方程组与不等式的综合题，它的已知条件是以对话的形式给出的.首先，应正确理解对话中隐含的等量关系并列出方程组，求出彩笔和橡皮的价格，再根据现有钱数、不等式的解和橡皮的个数为整数确定最大值.

解 （1）设买一支彩笔要x元、买一个橡皮要y元，

依题意3x+2y=19，x+3y=11，

解得x=5，y=2.

（2）设买的橡皮为z个，则1×5+2z≤20，

解得z≤7.5.

因为z为非负整数，所以z的最大值为7.

答：（1）买1支彩笔需5元，1个橡皮需2元.

（2）小明最多可买7个橡皮.

6 利用不等式的整数解确定最小值

例6 邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算;超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算.

（1）若要寄一封重35克的信函，需贴邮票多少元？

（2）若寄一封信函贴了6元邮票，问此信函可能有多重？

（3）七（1）班有9位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12克、每個信封重4克，请你设计方案，将这9份答案分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少.

分析 根据题意，第（2）问是确定信函重量的问题，第（3）问是根据重量选择贴邮票的方案，再从中选择最小值，现简答如下：

（1）1.6元;

（2）100

（3）9份答卷分1份、8份或3份、6份装，总金额最小，都是4.8元.

6 利用不等式的整数解设计方案

例7 某超市开展二十周年店庆，计划将3 490个甲种零食与2 950个乙种零食进行搭配，创建a，b两种零食礼包共50个进行活动促销，已知a种零食礼包需要甲种零食80个，乙种零食40个，b种零食包需要甲种零食50个，乙种零食90个.

（1）求出符合零食数量的搭配方案.

（2）如果搭配a种零食礼包需要的成本为800元，搭配b种零食的礼包需要的成本为960元，请找出成本最低的搭配方案，并求出最低成本.

分析 此题目中的不等关系需要仔细查找，从大致上来看没有明显的不等式关系，但是仔细分析可以看出，无论以何种方式搭配a，b两种零食礼包，前提都是甲种零食数量不能超过3 490个，乙种零食不能超过2 950个，可根据此关系列出不等式组，取得整数解.对于第二个问题可以结合具体搭配方式进行逐一求解.

解 设搭配a种礼包x个、则搭配b种礼包（50-x）个，

依题意，得80x+50（50-x）≤3 490，40x+90（50-x）≤2 950，

解不等式组，得x≤33，x≥31，

所以不等式的解是31≤x≤33.

因为x是整数，

所以x可取31，32，33，

所以可设计三种搭配方案：

①搭配a种礼包31个，搭配b种礼包19个;

②搭配a种礼包32个，搭配b种礼包18个;

③搭配a种礼包33个，搭配b种礼包17个.

（2）方法一：由于搭配b种礼包的成本高于a种.所以b种礼包搭配越少，成本越低，故应选择方案③，这样成本最低，最低成本为42 720元.

方法二：方案①需成本：

31×800+19×960=43 040（元）;

方案②需成本：

32×800+18×960=42 880（元）;

方案③需成本：

33×800+17×960=42 720（元），

所以应选择方案③，这样成本最低，最低成本为42 720元.