探析解含字母系数的一元一次不等式（组）

陈文倩

【摘要】 一元一次不等式（组）是初中数学学习阶段的重点和难点，很多学生在这部分的学习上还仅仅停留在会解一元一次不等式（组），但对于这类题型的延伸不能很好的理解，本文针对含字母系数的一元一次不等式（组）进行分类讨论，旨在让学生更深刻地理解这部分内容.

【关键词】 一元一次不等式（组）;含字母系数;分类讨论

1 已知方程（组）的解，求字母系数

这类题型往往需要先对解进行转换，然后再根据题目条件求出字母系数，如：

例1 若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1-m，x+3y=3，的解满足-1≤x+y<2，则m的取值范围为.

解 首先观察题中二元一次方程组中未知数的系数与所给不等式的关系，发现二元一次方程组两式相加得4x+4y=4-m，

所以x+y=4-m4，将它代入-1≤x+y<2，得

-1≤4-m4<2，

解得-4<m≤8.

例2 若关于x，y的二元一次方程组2x-3y=5，x-2y=k的解满足x>y，则k的取值范围为.

解 题中给出的x>y可以转化为x-y>0，将方程组两式相减，得

x-y=5-k，

则5-k>0，k<5.

在解例1和例2时，最容易想到的是先解出二元一次方程组，但是仔细观察后就会发现未知数系数间有着巧妙的关系，因此可以简化计算.

例3 在方程组x=2y-t，2x+y=t-3中，若y>9，则x的取值范围为.

解 本题中，给出的y>9和所要求的x的范围均与t无关，因此要想办法消除t，方程组中t前的系数互为相反数，将两个方程组相加得3x+y=2y-3，再用x表示出y为y=3x+3，

因此3x+3>9，则x>2.

2 已知不等式（组）解集，求字母系数或取值范围

这类题型中比较常见的有通过不等式组解集确定字母系数的值，如：

例4 若关于x的不等式组x+3b≥2a，23a+x≤2b的解集是-5≤x≤2，求a，b的值.

解 解这个不等式，得

2a-3b≤x≤2b-23a，

因为原不等式的解集为

-5≤x≤2，

所以2a-3b=-5，2b-23a=2，解得a=-2，b=13.

这类题型中较难的是根据解集确定字母系数的取值范围，容易犯错的地方是在求解时漏掉端点数字，如：

例5 若不等式组x<3a+2，x<a-4的解集是x<a-4，则a的取值范围为.

解 解不等式组遵循同大取大，同小取小，那么首先可以得出的是a-4<3a+2，再考虑端点处的数字可不可取，因此最终确定a-4≤3a+2，

解得a≥-3.

例6 若不等式2x+53-1≤2-x的解集中的每一个值都能使关于x的不等式3（x-1）+5x+2（m+x）成立，试确定m的取值范围.

解 解不等式2x+53-1≤2-x，得x≤45;

解不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x），得

x<1-m2，

由题意，得1-m2>45（注意此时1-m2≠45，端点数字不可取），解得m<-35.

3 已知不等式有解或无解，求字母系数的取值范围

当遇到不等式有解或无解这种类型的题目时，需要明确不等式的解集属于哪种类型，特别注意端点的数字是否可取.

例7 若关于x的一元一次不等式组x-2m<0，x+m>2有解，则m的取值范围为.

分析 因为不等式组有解，则解不等式组，得

2-m<x<2m，

所以2-m<2m，

得m>23.

例8 若关于x的一元一次不等式组x<3a+2，x>a-4无解，则a的取值范围为.

解 解一元一次不等式组时，同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小则无解，因此本题中3a+2<a-4（且这里可取等号），于是有a≤-3.

例9 若关于x的一元一次不等式组2x-6+m<0，4x-m>0有解（m为整数），则在其解集中，整数的个数不可能是（）

（A） 1. （B） 2. （C） 3. （D） 4.

解 解不等式组得 x<6-m2，x>m4，

因为不等式组有解，

所以m4<6-m2，

则m<4.

当m=3时，不等式组的解集为34<x<32，有1个整数解;

当m=2时，不等式组的解集为12<x<2，有1个整数解;

当m=1时，不等式组的解集为14<x<52，有2个整数解;

当m=0时，不等式组的解集为0<x<3，有2个整数解;

当m=-1时，不等式组的解集为-14<x<72，有4个整数解，……，随着m的逐渐减小，不等式组的解集范围会越来越大，因此不等式组的整数解不可能有3个，选择（C）.

4.已知整数解个数或有特殊解，求字母系数的取值范围

这在不等式中属于较难的题型，在做题时不仅要掌握基本的解不等式的方法，还要考虑到是否存在多种情况.

例10 关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（）

（A）-5<a<-3.（B）-5≤a<-3.

（C）-5<a≤-3.（D）-5≤a≤-3.

解 解不等式2x+a≤1，得x=1-a2，已知不等式有两个正整数解，则这两个正整数解为x=1，x=2，

则2≤1-a2<3，

解得-5<a≤-3，

因此选择（C）.

例11 已知关于x的不等式組5x-a>3（x-1），2x-1≤7的所有整数解的和为7，求a的取值范围.

解 解不等式组得x>a-32，x≤4，则其中一个整数解为x=4，因此当a-32>0时，另一个整数解为x=3，则2≤a-32<3，求得7≤a<9;

当a-32≤0，整数解为x=-2，-1，0，1，2，3，4，此时整数解的和也为7，

则-3≤a-32<-2，

解得-3≤a<-1，

综上，a的取值范围为7≤a<9或-3≤a<-1.

总结 总的来说这几种类型的题目有一定的难度，在解不等式的基础上，还要考虑端点数字的取舍，有些题目还要考虑多种情况，需要分类讨论，因此在解题时可以先借助数轴解答，多做练习至熟练解题.