求含45°角的一次函数系数的方法探究

杨冬明

【摘要】 三角函数和一次函数是初中数学的重要内容，在函数与几何的综合性题目中时常碰到这样一类题型：图形中出现45°角，求一次函数的参数的值.这类题往往无法用我们之前熟悉的待定系数法求解，45°角的条件在常规思路中也只有在等腰直角三角形中才有意义.这类难度较大的题目看似毫无规律章法，实则是有技巧和套路的，因为有些基本数学模型是我们非常熟悉的，它为我们解决综合性几何问题提供了一个很好的路径和突破口，从复杂的图形中抽出基础图形，利用基本数学模型的性质、解法往往可以化难为易、化生为熟，顺利得解.也就是化归思想.本文将才采用化归思想对该类问题的解题思路作详细阐述.

【关键词】 45°角;求一次函数参数;化归思想

先从一道题目说起

例 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0），P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=45°，求m的值.

思路1 利用“12345模型”解题，这是解决含45°角几何问题的一大解题利器，是在三角函数知识背景下的一個重要结论，我们不妨在遇到45°问题时首先考虑这个方法.

由题可知∠1+∠2=45°，

且tan∠2=POOA=12，

所以tan∠1=13，

所以OCPO=13，

即2÷m2=13，

解得m=12.

思路2 利用“一线三垂直模型”解题，45°角的条件往往让人联想到等腰直角三角形，因此我们不妨作垂线构造等腰直角三角形，同时结合一线三垂直模型，得到三角形全等，从而求出线段长.

过点C作CD⊥CP，交AP于点D，再作DE⊥x轴，易证△OPC≌△ECD，

所以DE=OC=2，

所以CE=OP=m2，

AE=OA-OC-CE=m2-2，

因为DE∥OP，

所以2∶m2=m2-2∶m，

解得m=12.

思路3 利用“一线三等角模型”解题，题目中已经有两个角等于45°了，并且这两个角在同一直线上，如果我们再构造一个45°角，就变成一线三等角模型了.类似于一线三垂直模型，我们在构造比例方程求线段长度时，也可以利用相似三角形得比例式方程.

在y轴截取OD=OC，

此时∠PDC=45°，可以证得

△ABP∽△PDC，BPCD=BAPD，

进而得到方程

m2∶22=2m∶m2+2，

解得m=12.

思路4 利用“四点共圆模型”，圆里有非常多特有的性质和结论，所以很多稍微复杂的几何问题我们都可以考虑通过四点共圆转化成圆的计算和证明问题，从而使得问题简单化.

以AC为直角边构造等腰直角△ADC.

因为∠D=∠APC=45°，

所以A，C，P，D四点共圆，且以CD为直径，E为圆心.

因为D（m，m-2），

P0，m2，Em+22，m-22，

根据EP=EC，可得

m+222+m-22-m22=22（m-2）2，

解得m=12.

思路5 利用“半角模型”解题，借用正方形旋转知识，将含45°角的一次函数问题转化成正方形背景下的半角模型，这样就可以用那些我们比较熟悉的半角模型的相关知识和结论来解题.

过点P构造正方形OPDE，

EN=DN=m4，OC=2，

根据半角模型知识易得

CN=DN+OC=m4+2，

又因为CE=m2-2，

在Rt△CEN中，有

m2-22+m42=m4+22，

解得m=12.

思路6 利用“角平分线模型”解题，在相似三角形章节我们得到过关于三角形角平分线背景下的相似结论，我们可以利用该结论来解题.

过点P作PD⊥PA.

因为∠APC=45°，

所以CP为△APD的角平分线，

所以PDPA=CDAC，

在直角△APD中由射影定理可以求出D的坐标-m4，0，

通过相似比易得PDPA=12，

即12=2+m4m-2，

解得m=12.

除了上述六种思路以外，我们还可以根据夹角公式直接求出直线的斜率值，也就是k的值，不过夹角公式是高中数学的知识点，这里就不作阐述了.