高中数学解题中引入数形结合思想的实践

刘智娟

【摘要】数学思想是数学的核心和精髓.在数学课堂中，教师不仅要传授给学生知识、技能，还要挖掘知识背后的数学思想，增进学生对所学知识的理解，让学生掌握解题技巧，更好地提升解题能力.而数形结合是数学思想的重要组成部分，两者在解题中的有机结合，可以让难以解决的问题变得简单化、明朗化和清晰化.本文就高中数学解题中如何渗透数形结合思想进行探讨，沟通数、形之间的联系，为更好地提升学生的解题能力和综合素养、实现学生的全面发展提供帮助.

【关键词】高中数学;解题能力;数形结合;课堂教学

著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”这充分说明了数形结合的重要性，数学教师在教学中应该予以重视.数和形作为数学中两个最古老和最基本的研究对象，在一定条件下能够相互转化.高中数学研究的对象主要分为数与形两大部分，数和形是存在联系的，这种联系就是数形结合思想.在高中数学解题教学中，数形结合思想是一种较为常用的解题方法，教师需指导学生根据实际情况把数与形进行相互转化或有机结合，借此真正提高他们的解题速度和正确率.本文从五个方向进行阐述，以供参考.

一、引入数形结合思想，有效解决集合问题

在高中数学知识体系中，集合问题是相对基础的内容，虽然难度一般，但是也是重点知识之一.高中生在学习集合知识过程中，经仔细研究后发现无论是交集，还是补集，都存在着一定的内在联系，均能够通过数形结合的方式来分析和解答，可有效解决问题.高中数学教师可指导学生引入数形结合思想，分析集合问题中的元素，让他们减少烦琐的计算流程，更好地提升解题效率.

例1 已知全集U={x1丨x2<50，x∈N}，L∩（C∪M）={1，6}，M∩（C∪L）={2，3}，C∪（M∪L）={0，5}，求集合M与L.

解析 学生首先需要求得全集U={x丨x2<50，x∈N}，U={0，1，2，3，4，5，6，7};把L∩（C∪M）={1，6}，M∩（C∪L）={2，3}，C∪（M∪L）={0，5}，三個集合中的元素在韦恩图中依次定位;定位集合中的4，7元素;根据下图集合U中的元素位置，得出集合M={2，3，4，7}，集合L={1，4，6，7}.接着，教师继续设置题目：已知集合A={x1丨x<—1或x≥1}，B={x1丨2a

上述案例，学生在处理集合问题时引入数形结合思想，借助韦恩图分析和解题，通过圆表示集合，假如两圆相交，就表明两个集合存在公共元素，相离则说明不存在公共元素，从而帮助学生快速地厘清解题思路，得出准确的结论，提升了课堂学习效率.

二、引入数形结合思想，直观解决方程问题

方程也是整个数学体系中的基础知识之一，虽然学生从小学阶段就开始接触方程，但是高中阶段出现的方程问题难度较大，有时仅仅依靠纯粹的列式计算比较复杂，极易出错，影响学生对题目的解答.这时高中数学教师可指引学生引用数形结合思想分析方程类的题目，根据图像判定方程的实根情况，辅助学生简单、直观地解决问题，增强数学解题的自信，让他们领略化逆为顺的精彩.

例2 已知方程2a2x2+2ax+1-a2=0的两个根在（-1，1）之内，那么a的值是多少？

解析 学生如果直接采用代数法，那么解题过程将会变得异常烦琐，还容易出现错误，很难顺利求出正确答案.教师可提示学生引入数形结合思想，根据题目中给出的已知方程，绘制出相应的二次函数y=a2x2+2ax+1-a2的草图，如图2所示.学生通过观察图像，发现抛物线和x轴的交点在（-1，1）之内，需要满足的条件是（a-1）2>0，（a+1）2>0，12-a2≤0.之后，在具体的解题环节，学生根据图像得出上述三个不等式，将它们联立起来构成一个一元二次不等式组，解之得a≥22或a≤-22且a≠±1，由此得出a的取值范围.之后，教师可以设置一些同类题目，如“方程ax-2x-1=0（a>1，a≠0）有两个零点，求a的取值范围”继续引领学生用数形结合思想求解.

如此，学生可以采用函数图像解决方程近似解的个数问题.在高中数学解题训练中，将会出现不少不规则的方程，教师均可指引学生引入数形结合思想，借助函数图像顺利求解，帮助学生降低解题的难度，获得解题成功的满足感.

三、引入数形结合思想，降低函数问题难度

在高中数学课程教学中，函数是一大“重头戏”，是较为重要的知识内容，也是学生学习的难点，且涉及范围广泛，还和数形结合思想有着直接联系.在具体的解题环节，高中数学教师可以引导学生运用数形结合思想处理难度系数相对较高的函数类问题，明晰函数式与图像之间的关系，将抽象的函数知识变得具体化，借此降低函数试题的解答难度，提高他们的解题速度和水平，领略数学知识的魅力所在.

例3 已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线和x轴交点的横坐标是-2.

（1）求a的值;（2）证明，当k<1时，曲线y=f（x）和直线y=kx-2只存在一个交点.

解 （1）设f′（x）=3x2-6x+a，f′（0）=a，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线方程是y=ax+2，根据题意可得-2a=-2，a=1;（2）教师应提醒学生先分类，再引用数形结合思想寻求突破，不过分离变量的时候需注意x的取值范围.令f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4=0，则k=x2-3x+4x+1（x≠0），令g（x）=x2-3x+4x+1（x≠0），定性画出g（x）的图像，通过观察求得当a<1时，曲线y=f（x）和直线y=kx-2只存在一个交点.

对于上述案例，教师指引学生采用数形结合思想寻求新的突破口，能够有效降低这一问题的难度，使其结合图像一目了然地获取答案，将复杂的数学题目变得非常直观和具体，让学生体验到数形结合的优势，从而省掉很多不必要的计算步骤和环节.

四、引入数形结合思想，简便解决数列问题

在处理数列相关问题时，学生通常习惯于采用代数方式和思维方法来解决.但是把数形结合思想引入数列问题，可以把数列看作一列函数值，通过图像的形式来表示，让他们高效地解决数列问题.在高中数学解题教学中，教师可以引领学生使用数形结合思想解析数列问题，以图形的形式来展示数列，能引导学生迅速找到解决问题的突破口，显得快捷又直观，最终帮助他们简便、轻松地解决难题.

例4 已知在等差数列{an}中，3a8=5a13，求Sn中最大的值是（  ）.

A.S21    B.S20    C.S11    D.S10

解析 当学生第一眼看到这一题目时，往往会觉得题中给出的条件较少，一时之间不知道该如何下手解题.这时，教师可提示他们引用数形结合思想，将数列中的点以图像形式呈现出来，画成一个一次函数样式.具体解答方法如下：根据题中给出的条件3a8=5a13可知a8a13=53，因为a1>0，所以a8>a13，则数列{an}是一个递减数列，如图4所示，设AB=x，结合相似三角形的性质可得xx+5=35，解得x=7.5，那么an的图像所在直线和x轴的交点坐标是（20.5，0），明显可以看到Sn中的最大值是S20，故正确选项是B.

在上述案例中，学生运用数形结合思想的形象特点，将抽象化的数学问题变得形象化，能够快速厘清题意，并找到正确的解题策略，减少错误现象的出现，锻炼自身的抽象思维.

五、引入数形结合思想，高效解答几何问题

在数形结合思想中，主要包括两大类，分别是“以数解形”和“以形助数”，即借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.这表明在高中数学解题中引入数形结合思想时，不仅可用图形来表示数，还能够用数来表示图形.教师需要引领学生应用数形结合思想解答几何问题，降低他们出错的频率，更好地提升教学成效.

例5 已知有向线段PQ的起点P和终点Q坐标分别是P（-1，1），Q（2，2），如果直线l：x+my+m=0和有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围.

解析 学生可以把直线l的方程x+my+m=0转变成点斜式，即为y+1=-1mx，轻松得知直线l经过定点M（0，-1），且斜率是-1m，因为l与有向线段PQ的延长线相交，根据数形结合思想画出图5，得出当过点M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小，当过点M与Q时，直线l的斜率趋近于最大，则kPQ=2-12-（-1）=13，kMQ=2-（-1）2-0=32，设直线l的斜率是k1，根据kPQ

针对上述案例，学生把含有一个变量的直线方程转化为点斜式或经过两直线交点的直线系方程，在化为点斜式方程后看出交点M和斜率，然后结合图形判断出斜率的范围.

总而言之，解题教学是高中数学课堂中的重要教学内容，有助于培养学生灵活运用所学知识的能力，拓展学生的思维，形成适应未来社会的关键能力.但由于高中数学课堂中的很多题目难度较大，学生解答起来并不轻松.教师需引导学生极力发挥出数形结合思想在解题中的优势，帮助他们优化解题思路，使其掌握更为有效的解题技巧，逐步锻炼和提高自身的数学解能力.

【参考文献】

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