让化归思想转化得巧妙、自然

魏重霞

[摘要]化难为易、化繁为简、化未知为已知是化归思想的核心，它贯穿于数学解题研究的始终.想要让化归思想转化得巧妙、自然，文章认为可从以下几方面着手：将未知问题已知化，便于理解;将复杂问题简单化，便于突破;将抽象问题直观化，便于认识;将函数问题方程化，便于解题.

[关键词]化归思想;数学教学;问题

化归思想是辩证唯物主义的基本观点，它主要是将复杂的问题进行转化处理，实现化繁为简、化生疏为熟悉的目标，利于问题的解决.初中数学中常用的化归思想有：配方法、待定系数法、整体代入法等，学生的思维也由抽象转化为具体.化归思想既是一种重要的数学思想，也是最基本的解题策略，还是一种行之有效的思维方式.鉴于此，本文就如何在初中数学教学中灵活应用化归思想，以优化数学教学谈几点看法.

将未知问题已知化，便于理解

数学是一个有机的整体，知识与知识之间有着千丝万缕的联系.利用好知识间的联系，可将一些生疏的问题转化为认知范围以内的问题，在理解的基础上实现知识的迁移，为解题服务.为了建立知识间的联系，化未知为已知，教师可引导学生将前后所学知识进行类比，只要找出其中存在的内在逻辑关系，即能发现它们之间的异同处，再通过分析、归纳与总结即可实现时空维度上的链接.

案例1“二元一次方程”的教学

本章节教学前，学生对一元一次方程已经有了较为深刻的理解.教学时，教师可引导学生将未知的二元一次方程转化为认知领域中所熟悉的一元一次方程来进行分析、求解.

学生初次看到这个问题，有点蒙圈，感到既新鲜又陌生.为了鼓励学生自主获得问题的答案，教师可引导学生思考：该方程组与一元一次方程相比，有什么异同点呢？很显然，这两者最大的区别就是未知数的数量.此时，可鼓励学生想办法去掉一个未知数.

学生经过自主思考与合作探究，获得以下解题方法：①将x+y=3这个方程转化成y=3-x，再将y=3-x代入到方程x+2y=4中，此時可得到一个一元一次方程6-x=4，本题x的值就昭然若揭了，y值也呼之欲出;②分别将两个方程视为一个整体，将它们相减，可获得y=1的结论，再将y值代入式子x+y=3或x+2y=4中，即可获得x=2的解.

第一种解题方法就是我们常用的代入消元法，第二种是加减消元法，这两种方法都是将学生未知的二元一次方程转化为已知的一元一次方程进行解题.这也是化归思想中，典型的化未知为已知的解题过程.此过程实现了学生新旧知识的沟通，化归思想将学生的思维从旧知引向了新知，从而有效地激发了学生的探究兴趣.尤其是学生自主探究的过程，不仅丰富了学生的思维，还锻炼了学生的解题能力，为自主获得良好的解题技巧奠定了基础.由此可见，化归思想的应用，有效地优化了本节课的课堂教学.

将复杂问题简单化，便于突破

波利亚认为：“数学教师应想尽一切办法，来培养学生的解题能力.”纵观近些年的中考试题，会发现综合性的问题越来越多，且越来越新颖.抽丝剥茧，发现这些复杂的问题都是由基础性的知识加工而来.想要突破这些复杂的问题，只要将问题去伪求真，通过转化、还原等方式，找出问题的原型，再逐个突破，即可达到解题的目的.

案例2“三角函数”的教学

问题：如图1所示，某酒店要给一段高2m，坡角30°的楼梯铺上地毯，求地毯的长度.

学生初次看到本题，首先想到的是求出每一级台阶所需耗费地毯的长度，然后再乘台阶的数量，即可获得问题的答案.但题设条件中并不存在每级台阶的数据，这给解题带来了障碍.若换一个角度来思考本题，将问题转化成我们所熟悉的内容，即改变一下求和的顺序，或许会有新的突破.

面对无从下手的问题时，教师可鼓励学生换个角度去观察与思考，或许就能拨开云雾见天日.学生通过自主观察与分析，将复杂的问题简化成熟悉的问题，不仅打开了解题思路，实现了思维的提升，还有效地锻炼了自身的解题能力，为创新意识的形成与核心素养的提升奠定了坚实的基础.

将抽象问题直观化，便于认识

数学具有抽象、严谨等特点，而初中阶段学生的思维又处于直观形象思维向抽象逻辑思维转化的关键期.如何利用数学教学帮助学生顺利实现思维的转换，是笔者一直探索的问题之一.实践证明，利用数形结合思想，将抽象的数量关系用直观的图形表示，或将复杂的图形用简洁的数量关系来表达，能有效地提高教学效率，这也是化归思想的重要内容之一.

案例3“函数范围”的解题教学

一道复杂的函数问题，通过图形的构造，变得尤为简单.在学生惊叹于数形转化的便利之时，也深刻领悟了数形结合思想在解题中的应用，由此也切身体会了化归思想对解题大有裨益.数形转化不仅将复杂的数量关系转化成简单、具体的图形，更重要的是让学生对这种转化过程产生了非常直观的认识，从而对数学学习产生浓厚的兴趣.

将函数问题方程化，便于解题

函数问题与方程的互相转化，需要挖掘这两者之间的契合点，把复杂的函数问题转化成简单、直观的方程组，可简化问题难度，实现解题.不少函数问题需借助图像来实现两者间的互相转化.当遇到用常规方法虽能解题，但存在过程冗长，计算繁杂等状况，稍有不慎就会出现失误时，则可考虑用图像或方程来化繁为简，突出解题过程，让思维有迹可循.

案例4“两图形交点问题”的探究

从问题的表面来看，能确定本题是关于两个图形交点的问题，题设条件中所呈现的a，b，c都是模糊的参数，因此让本题变得更加扑朔迷离，也让不少学生感到不知以何处作为解题的切入点.

考虑用常规解题方法解决本题，存在的问题是直线与抛物线的位置定位不清，若不考虑a，b，c的大小，将它们都理解为确切的量，同时用它们来表示其他未知的一些数，如此则可将问题转化为学生所熟悉的求方程解的问题.

本题巧妙地运用化归思想，实现了函数问题与方程问题的灵活转化，学生不仅深切体会了将函数问题转化为方程问题的便捷性，还有效地拓展了解题思路，形成了一定的解题技巧，感知数学独有魅力的同时，有效地提升了解题能力.

波利亚认为：“解题时，我们要不断地变换问题，用不同的形式去表述问题，则能从中发现一些有用的东西.”想让化归思想转化得巧妙、自然，就需要教师引导学生勤思考、多分析，从问题的多角度去探究，从而建构完整的认知体系，为形成终身可持续性发展的能力奠定基础.