二次函数与三角形综合题的解题策略研究

周文丽

[摘要]二次函数与三角形结合出题在中考中是常考题型，该类考题较综合，常成为学生获得高分的“拦路虎”.文章探析了二次函数与三角形综合题的解题思路和方法策略，并对该类题如何更好地进行教学提出了三点建议，以期对中考生的学习和一线教师的教学带来一点启示.

[关键词]二次函数;三角形;解题策略

问题的提出

初中数学知识涉及150多个知识点，其中二次函数与几何图形所涉及的知识点约有47个，占比约31.3%.在当前九年义务教育阶段，中考具有很强的选拔性，且数学作为三大主科之一，其中以二次函数为背景，结合几何图形进行考查的题型成为中考必考题型，分值为8～16分.可见，如果一个初中生没有很好地掌握二次函数和几何图形的基础知识，他或许会与重点高中失之交臂.因此，研究二次函数压轴题很有必要.

笔者分析昆明市近六年中考数学二次函数压轴题，发现其均以二次函数为背景，再结合等腰（直角）三角形存在性、三角形相似及三角形的面积（周长）来考查学生的能力.这类题注重基础性、综合性和创新性，关注数学的本质和通性通法，既重能力考查，又重素养考查.对于此类问题，学生需具有抓住题眼抽象出图像的能力，并结合几何图形性质及其特点，利用数形结合、分类讨论、方程等数学思想方法完成解题.但很多学生不能根据题眼抽象出图像，因此，教师在教学中要注重培养学生的数学抽象能力.所以探析二次函数与几何图形的综合题的解题策略变得尤为重要.

典例呈现

（一）特殊三角形存在性问题与面积最大值问题

二次函数与三角形的综合题是代数与几何知识的融合，难度较高，要求学生熟悉二次函数和三角形的有关知识，注重知识点之间的联结，形成知识链，并有意识地运用数形结合、分类讨论、方程与函数等数学思想方法，提升自身数学素养.下面以2016年昆明市中考数学第23题为例，探析特殊三角形存在性问题与面积最大值问题的解题策略.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值.

（3）若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在一点Q，使△MQC为等腰三角形且△MOB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

分析第（1）问通过待定系数法易求出抛物线的解析式为y=-2x²+2x+4.第（2）问主要考查图形的分割以及常见平面图形面积的计算，该类题需要学生根据题眼先将几何图形抽象出来，再将不规则图形分割成规则图形，利用规则图形的面积公式求解，最后求面积之和.第（3）问是等腰三角形和直角三角形同时存在性问题，非常综合，需要学生根据题眼和分类讨论思想先抽象出几何图形，再根据直角三角形和等腰三角形的特点及性质，利用三角形相似、勾股定理或锐角三角函数等知识进行求解.

1.第（2）问的解法探析

解法3过点P作y轴的垂线，垂足为E，将四边形COBP分割成△CEP和直角梯形EOBP（如图4所示）.设出点P的坐标，再根据S=S_△CEP+S_{直角梯形EOBP}求出S的最大值.

评析第（2）问是面积最大值问题，渗透割补和数形结合思想，难度适中.要解决此类题，需要学生明晰如下解题过程：“题眼”→抽象出图形→分割不规则图形→设动点坐标（根据抛物线方程）→求规则图形的面积→求面积之和→配方.由上述三种解法不难看出一个共性，那就是，一般来说，动点的横、纵坐标分别为分割后各规则图形的高.

2.第（3）问的解法探析

假设存在点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形.由题意易知只能∠BQM=90°或∠BMQ=90°.

当∠BQM=90°时，可抓住“题眼”抽象出图形（如图5所示）.易知只能CM=MQ.可求出直线BC的方程，再设出点M的坐标，并表示出MQ，OQ，BQ，BC的长度.此情况主要有以下三种解法.

解法1（勾股定理）在Rt△BQM中求出BM，MQ的长，再根据CM=MQ即可求出点Q的坐标.

进而求得点Q的坐标.

评析第（3）问表面上是考查等腰三角形和直角三角形的存在性问题，实质是勾股定理、三角形相似、锐角三角函数等多个知识点的综合考查，难度较大.解决该类题需要用分类讨论、数形结合、化归等数学思想方法.通过对该题型多种解法的探讨可归纳出解决此类题的一般思路：假设点存在一以动化静，借助分类讨论思想，并根据题意抽象出图形→先从直角三角形入手→分析并确定等腰三角形的两腰（不能确定的，进行分类讨论）→设点的坐标→利用假设得到的结论、勾股定理、相似三角形的性质、锐角三角函数等知识来求解.

（二）三角形相似与周长最小值问题

三角形相似问题的本质是动点存在性问题，核心是数形结合.数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化，点在函数图像上运动使得三角形的对应边发生变化，有策略地对相似比进行分类讨论是解题的关键.下面分析例2，探析其解题策略.

例2已知二次函数的图像经过O（0，0），A（8，4）两点，与x轴交于另一点B，且对称轴为直线x=3.

（1）求该二次函数的解析式;

（2）M是抛物线对称轴上一点，当△ABM的周长最小时，求出点M的坐标;

（3）P是x轴上的点，过点P作PQ⊥x轴，与抛物线交于点Q，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标.

评析第（3）问考查得比较直接，但是题目没有给出图形，需要学生先根据“题眼”和二次函数知识抽象出草图.对于以二次函数为背景，考查相似三角形的试题，一般来说学生需经历如下解题过程：抽象出图形一设点的坐标并求线段的长（长度需加绝对值）一找特殊条件（垂直）一利用相似结论分类讨论相似比一代值求解（注意含绝对值等式的求解方法）.总之，做此类题时要注意找特殊条件，进而确定对应边可能的情况，求出的线段长度加绝对值可减少讨论的次数.

反思与建议

二次函数与三角形综合是代数与几何相结合命题的一种重要形式，注重考查学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本素养，要求学生有一定的数学抽象能力，以及分析問题和解决问题的能力.该题型一直以来是考生取得优异成绩的“拦路虎”，原因是二次函数压轴题考查的知识点多、条件较隐蔽、计算量大且抽象，考生往往会出现知识点混用、题意理解不透、条件挖掘不完整、计算失误、分类讨论不全面等情况.因此，在教学中，教师应改变传统的应试教学模式，提高教学灵活度，真切地培养学生的数学思维，提升学生用数学方法解决问题的能力.下面提几点建议.

首先，教师应注重直观教学.二次函数对于初中生来说比较抽象，而抽象源于具体，在教学中，教师要善于引入丰富的教学手段或进行试验模拟，让学生直观地感受进而发现规律，将抽象的数学知识生活化，调动学生的主观能动性，提高学生的数学抽象能力.如例1的第（2）问，教师在讲解时可借助几何画板利用面积函数演示点P运动时，S何时有最大值，让学生直观感知，调动学生解题探究的兴趣.

其次，教师应注重学生的基础.该题型注重考查二次函数与三角形相关的基础知识，只是综合性较强，教学中部分教师可能出现过度重视解题技巧训练的误区.因此，教师在二次函数压轴题的教学中，应重视学生基础知识的掌握和应用，注重学生相关知识点的联结，并帮助学生形成知识链.

最后，教师应重视学生数学思想的培养.在该题型的教学中，教师要侧重学生基本数学思想的培养，要让学生经历“审题→明确题意→思路探讨→解题→总结解题策略”的过程，掌握常见题型中易出现的基础知识、常涉及的基本技能和解题思路.