问题特征解读，方法关联探究

黄欲涵

[摘要]双动点线段和问题在中考中十分常见，问题突破可采用“动静转化”的策略，通过做辅助线来构造等线段，然后基于共线定理确定最值情形.该类问题的题型较为丰富，突破构建时存在一定的差异，文章将以2021年连云港中考卷的一道线段最值问题为例，挖掘问题特征，探索解法，并开展关联探究.

[关键词]几何;动点;线段和;最值

真题再现，深入解读

考题（2021年江苏省连云港市中考数学卷第8题）如图1所示，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动.若⊙O的面积为2π，MN=1，则△AMN周长的最小值是（）.

A.3B.4C.5D.6

解读本题目以正方形与圆内接为背景，构建了△AMN，并探究其周长的最小值，其中MN为定值，故结合周长公式L=MN+AN+AM可知，实则就是求AN+AM的最小值，故本质上为线段和最值问题.本题目有以下几大特点，下面具体分析.

特征1——“两动一定”

线段和AN+AM涉及三点，其中M和N均为正方形对角线上的动点，且运动轨迹一致，而点A为正方形的一个顶点，为定点，故问题可归为“两动一定”线段和最值问题.深入分析可知不符合“将军饮马”模型，故不可直接采用对称转化来破解.

特征2——动点关联

点M和N均为DB上的动点，具有限制条件“MN=1”，即表示两点之间的距离始终相等，是两动点之间的联系，这是与常规双动点问题的最大区别.

特征3——隐含对称

问题图像以正方形和圆内接为背景，且动点位于对角线上，这就造成复合图形具有众多的对称性质，如点A与C关于对角线DB对称，连接CN和CM，则始终有CN=AN，AM=CM，该性质为对称转化提供了条件.

思路分析，问题突破

上述动点最值问题的结构鲜明，特征突出，问题突破要立足几何特征，把握解法核心.对于线段最值问题，最有效的解法是线段转换，构建三点共线，利用“两点之间，线段最短”来破解，下面具体探究.

连接MC，由对称性可知AM=CM，再分别过点M和A作AN和MN的平行线，构造图2所示的平行四边形ANME.再连接AC和CE，分析可知AN+AM=EM+CM≥EC，显然当点C，M，E三点共线时，AN+AM的值最小，此时AN+AM的长等于CE.

AM）_min=3，所以△AMN周长的最小值为4.

评析上述问题突破过程的核心思想是动定转化，首先通过作平行线构建平行四边形，利用其中的对称特性将问题转化为“两定一动”问题，然后结合“点共线，求最值”的策略完成破解.其中平行四边形的“等边特性”是线段转化、化“动”为“定”的基础，“三点共线”是实现线段和最小的理论核心.

问题挖掘，本源探究

分析：显然该例题与原考题的图形结构完全一致，可参考考题的构形转化思路来作图.此处主要探究该类问题另一种“动定转化”的思路，可将E和F视为顶点，而将A视为动点，则点A的“相对运动”轨迹应在与EF相平行的直线上，即BD的平行线上.又知E和F是对角线上的任意两点，将其视为定点后可设定在特殊位置，如点E与正方形的顶点B重合，从而转化为常规的“两定一动”型問题.

评析上述在求解线段最值问题时同样采用了“动静转化”的策略，所不同的是通过构造图形将“动点”与“定点”进行了相对转化，然后利用“三点共线”来确定最值情形，解法的核心是一致的.

关联探究，方法赏析

上述问题为线段和最值问题，动点之间的几何关联是其最突出的特征，该类问题在初中几何中十分常见，构建形式较为多样，下面结合两道例题进一步分析.

1.双动点距离关联

例1如图5所示，在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=4，AC为对角线，E和F分别为AB和CD上的动点，且EF⊥AC，垂足为M.现连接AF和CE，试求AF+CE的最小值.

分析：本题目同为双动点线段最值问题，点E和F分别在平行线段上移动，运动过程始终有EF⊥AC.分析可知两动点之间的距离始终相等，即EF长为定值，显然与上述考题具有同类型的限制的条件，可采用对称或平移转化的方法来将所涉线段拼接.

解答：过点N作AF的平行线，再过点A作EF的平行线，设两线交点为N，如图5所示.由题意可知四边形ANEF为平行四边形，则有AN=AF，NE=AF，可知AF+CE=NE+CE≥NC，显然当点N，E，C三点共线时，AF+CE的值最小，此时AF+CE的长等于NC.

点评上述问题中的垂直条件，实则隐含了两动点之间的距离关联，本质上与考题特征一致，故可通过平移或对称来实现“动静转化”.平移构造所依托的是平行四边形的性质，而对称构造则是依托对称特性，其核心均是等线段转化.

2.双动点线段限制

例2如图6所示，边长为3的等边三角形，且AD⊥BC交BC于点D，E和F分别为线段AD和AC上的动点，且AE=CF，则BE+BF的最小值为.

分析：本题目中同为双动点线段和最值问题，并设定了AE=CF，实则表示两动点分别距定点A和C的距离相等，可归为参考点之间的几何关联.由于点E和F并非位于同一直线上，故无法直接完成“动静转换”，可构造全等三角形来转换线段，进而求线段和最值.

点评上述问题中，两动点之间没有直接的距离关联，但对其运动轨迹做了限制，从动态视角来看可视为具有相同的速度.问题转化的策略是一致的——“动静转化”，所不同的是上述通过构造全等三角形，利用全等特性来实现等线段转化.

解后反思，教学建议

1.关注问题特征，挖掘问题本质

上述以一道双动点线段和最值问题为例，探索了问题特征，挖掘了问题本质，并开展解法探究.其中问题特征及本质是思路构建的基础，也是问题突破的关键.问题特征需要多角度探索，充分定位，以上面动点最值问题为例，需要关注动定点的个数、动点的移动轨迹、动点之间的关联，以及是否存在联动条件.解题教学中，建议引导学生分步探究，从图像背景人手，挖掘动点关联，准确定位动点问题属性.

2.总结解法思路，探究方法内涵

几何动点问题的类型较为多样，不同类型题的破解方法有差异.以上述问题为例，由于双动点之间的距离限制，造成动点存在联动关系，故转化过程要充分考虑该条件.该类问题突破的方法核心是“动静转化”，可通过平移、构平行四边形、全等图形等方式实现等线段转化.本质上所依托的是“三点共线，线段最短”，这是该解法策略的内涵所在.教学中，建议引导学生开展类比探究，呈现多类型动点线段和最值问题，分析构建思路，总结方法异同，帮助学生积累经验.

3.拓展解法探究，激活学生思维

解法探究是教学的重要环节，在该环节中不仅要引导学生总结解法，还要激活学生的思维.故建议完成探究后合理进行拓展变式，包括对问题的变式及方法的拓展.如上述考题探究后对问题进行了关联拓展，并深入分析了问题解法，形成了解题策略.教学中，建议立足问题，探索解法，并结合实例深入拓展.探究过程注意思维引导，让学生充分思考，内化吸收，同时注意引导学生创新思维，使学生从思想上获得能力提升.