基于Matlab软件的FIR数字滤波辅助教学研究

姜恩华，朱 旋，陈东华

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

数字信号处理教材中常常把FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器设计与数字滤波网络基本结构内容放在不同章节讲解，这样导致关于FIR 数字滤波器的知识点比较分散［1-2］，不利于学生系统掌握FIR数字滤波网络方面的知识.本文借助Matlab软件，以FIR数字滤波器设计与数字滤波网络为线索，开展FIR数字滤波器章节内容的课堂辅助教学.根据单位脉冲响应h(n)关于（N-1）/2的对称性和FIR数字滤波器的线性相位，借助Matlab函数，通过FIR数字滤波器设计方法，求解单位脉冲响应h(n)；通过单位脉冲响应h(n)得到FIR 数字滤波器的直接型滤波网络结构；对h(n)进行Z变换，得到系统函数H(z)，对H(z)进行因式分解，把H(z)分解为若干个一阶或二阶因式相乘的形式，得到FIR数字滤波器的级联型滤波网络结构.通过MATLAB范例，把FIR数字滤波器设计和数字滤波网络结构作为一个整体进行辅助教学［3-4］，有助于学生加深对该部分知识的掌握和理解.

在Matlab软件中，一方面提供FIR数字滤波器设计函数，例如：窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法的设计函数，通过函数调用，设计FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)；另一方面，也提供FIR数字滤波网络的直接型结构和级联型滤波函数，借助它们完成FIR数字滤波的辅助教学.把FIR数字滤波器设计与数字滤波网络两方面的知识作为一个整体讲解，丰富辅助教学的内容，使得教学思路清晰，教学内容完整饱满［5-6］，形象直观地展现FIR数字滤波器设计与数字滤波网络的理论知识，激发学生的学习兴趣，起到较好的教学示范作用.

1 FIR数字滤波器

1.1 FIR数字滤波器的类型

单位脉冲响应h(n)关于（N-1）/2的对称性和N的奇偶性决定设计的FIR数字滤波器的类型；FIR数字滤波器的传输函数H(ejω)决定其幅频特性，系统函数H(z)决定其零极点分布，当z=ejω，表示系统函数H(z)在单位圆上取值，即传输函数H(ejω)的值，对ω取0和π 时，对应的z值为1和-1.系统函数H(z)如式（1）所示：

若单位脉冲响应h(n)偶对称且N为奇数，把z值为1和-1代入式（1）中，式（1）的值可能为零也可能不为零，与幅频特性曲线 ||H(ejω) 比较，该情况可以设计FIR数字低通、高通、带通和带阻滤波器；若单位脉冲响应h(n)偶对称且N为偶数，把z值为-1代入式（1）中，式（1）为零，该情况可以设计FIR数字低通和带通滤波器，不能设计高通和带阻滤波器；若单位脉冲响应h(n)奇对称且N为奇数，把z值为1和-1代入式（1）中，式（1）都为零，该情况只能设计FIR数字带通滤波器；若单位脉冲响应h(n)奇对称且N为偶数，把z值为1 代入式（1）中，式（1）为零，该情况只能设计FIR 数字高通和带通滤波器，不能设计低通和带通滤波器.

1.2 基于MATLAB的FIR数字滤波器的设计

由于FIR数字滤波器的归一化传输函数H(ejω)能够根据线性相位特性直接得出，其归一化的幅频特性曲线 ||H(ejω) 和幅度响应函数Hg(ω)曲线也很容易表示出来.

FIR数字滤波器的设计方法主要包括窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等，每种设计方法都能实现FIR数字低通、高通、带通和带阻滤波器的设计，求得单位脉冲响应h(n).

在Matlab 软件中，提供窗函数设计法函数fir1（N，wp，’ftype’，win）及其窗函数win，频率采样法函数fir2（N-1，F，A，win），其中F表示边界频率，等波纹最佳逼近法函数［N，fo，mo，W］=remezord（f，m，dev，Fs）和remez（N，fo，mo，W），借助Matlab软件提供的设计函数，根据FIR数字滤波器的技术指标，按照FIR数字滤波器的设计方法，求得FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)［7］.

2 FIR数字滤波网络

FIR数字滤波网络基本结构主要为直接型和级联型结构，通过FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)，可以得到直接型网络结构.对h(n)进行Z变换，求得FIR滤波器的系统函数H(z)，通过对H(z)进行因式分解，分解为若干个一阶或二阶因式相乘的形式，如式（2）所示，可以得到FIR数字滤波网络的级联型结构［8］.

在Matlab软件中，调用函数filter2（hn，x），采用直接型滤波网络进行滤波；调用函数［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR 滤波器的系统函数H（z）转换为级联型的形式，调用函数y（n）=filtfilt（s，g，x），采用级联型滤波网络进行滤波［9］.

2.1 FIR直接型数字滤波网络

2.1.1 FIR直接型数字滤波网络结构

由FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h(n)可以得到FIR 直接型数字滤波网络，其网络结构如图1所示［1-2］.

图1 FIR直接型数字滤波网络结构

2.1.2 基于MATLAB的FIR直接型数字滤波辅助教学

采用窗函数法设计FIR数字带阻滤波器，根据FIR数字带阻滤波器的设计指标：边界频率：wp=［（wls+wlp）/2/pi，（wus+wup）/2/pi］，阶数为N-1，调用Matlab函数hn=fir1（N，wp，‘stop’，blackman（N+1）），设计FIR数字带阻滤波器，得到其单位脉冲响应h(n)；采用FIR直接型带阻滤波网络完成滤波.设计的输入序列x(n)如式（3）所示；输入序列x(n)通过FIR 直接型带阻滤波网络，即调用函数y（n）=filter2（hn，x）完成滤波［10］，得到输出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的时域波形及其频谱如图2所示，同理，采用窗函数法也可以设计FIR低通、高通和带通数字滤波器及其直接型结构的数字滤波网络［11-12］.

图2 直接型FIR带阻滤波网络的输入和输出信号及其频谱

比较图2的子图（b）和（f）可以看出，低频和高频信号被保留，带通信号被滤除.通过MATLAB范例，基本完成了窗函数法设计FIR数字滤波器及其滤波过程的辅助教学.

2.2 FIR级联型数字滤波网络

2.2.1 FIR级联型数字滤波网络结构

对FIR数字滤波器的系统函数H（z）进行因式分解，分解为若干个一阶或二阶因式的相乘形式，可以得到FIR级联型数字滤波网络结构，如图3所示［13］.采用等波纹最佳逼近法和频率采样法设计FIR数字滤波器，采用级联型数字滤波网络结构完成滤波.

图3 FIR级联型数字滤波网络结构

2.2.2 基于MATLAB的FIR级联型数字滤波网络辅助教学

采用等波纹最佳逼近法设计FIR高通滤波器，其技术指标为：边界频率：f=［0.15，0.25］，阶数为N-1，调用函数［N，fo，mo，W］=remezord（f，m，dev，Fs）和hn=remez（M，fo，mo，w），求得FIR 数字高通滤波器的单位脉冲响应h(n)；采用FIR级联型高通滤波网络完成滤波.设计的输入序列x(n)如式（4）所示，输入序列x(n)通过FIR高通滤波网络，调用函数［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR数字滤波器的直接型结构转换为级联型结构，调用函数y（n）=filtfilt（s，g，x）完成级联型高通滤波，得到输出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的时域波形及其频谱如图4所示，同理，采用等波纹最佳逼近法也可以设计FIR低通、带通和带阻数字滤波器及其级联型结构的数字滤波网络［14］.

图4 级联型FIR高通滤波网络的输入和输出信号及其频谱

从图4的子图（b）和（f）可以看出，高频信号被保留，低频信号被滤除.通过MATLAB范例，基本完成等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器及其滤波过程的辅助教学.

采用频率采样法设计FIR 数字低通滤波器，其技术指标为：通带截止频率：ωc=π/4，过渡带宽度Bt=π/16，阶数为N-1，调用函数hn=fir2（N-1，F，A，win）完成FIR数字低通滤波器设计，win采用boxcar矩形窗函数，求得单位脉冲响应h(n).设计的输入序列如式（5）所示，输入序列x（n）通过级联型FIR低通滤波网络完成滤波.调用函数［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR低通滤波器的直接型结构转换为级联型结构，调用函数y（n）=filtfilt（s，g，x）完成级联型低通滤波，得到输出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的时域波形及其频谱如图5所示，同理，采用频率采样法也可以设计FIR高通、带通和带阻数字滤波器及其级联型结构的数字滤波网络［15］.

图5 级联型FIR低通滤波网络的输入和输出信号及其频谱

从图5中的子图（b）和（f）可以看出，低频信号被保留，高频信号被滤除.通过MATLAB范例，基本完成频率采样法设计FIR数字滤波器及其滤波过程的辅助教学.

3 结论

本文借助MATLAB软件，完成FIR数字滤波器设计和数字滤波网络的辅助教学，借助Matlab函数，通过FIR数字滤波器设计，求得单位脉冲响应h(n).通过h(n)可以得到FIR数字滤波器直接型网络结构，对系统函数H(z)因式分解为若干个一阶和二阶因式相乘的形式，可以得到FIR数字滤波器的级联型滤波网络结构.通过MATLAB 范例，把FIR 数字滤波器设计和数字滤波网络基本结构作为整体进行辅助教学.借助Matlab函数，设计FIR数字滤波器，通过FIR数字滤波器直接型和级联型滤波网络结构，完成对输入序列的滤波.形象直观地展现了FIR滤波器的设计和滤波过程，使得教学思路清晰，教学内容完整饱满，起到较好的教学示范作用.