遵循思维规律 提升思维能力

司徒超旋 赵银仓

[摘  要] 发展学生数学素养离不开学生数学思维能力的提升，因而务必要让学生学会思考. 学生思考数学问题的过程，就是体验对数学问题的抽象分析过程、将复杂问题转化为易于解决的问题的过程、开展数学运算推理的过程和数学想象的过程，就是发展学生的数学核心素养的过程. 运用思维策略能发展学生的思维能力，提升学生的思维品质，进而提升学生的数学核心素养.

[关键词] 学会思考;数学思维;思维策略;数学素养

有位数学家曾经说过，“学生在中学阶段所接受的数学知识，进入社会后，没有机会直接应用，唯有数学精神、思维方法和策略等，使他们终身受益.”可见数学思维会影响学生终身发展. 要发展学生的数学思维，就要让学生学会思考，只要学会思考，并能深度思考，才能发展数学核心素养.

[⇩] 让学生学会思考，才能促进素养的落实

数学素养的内涵和要求是多方面的，在教育教学的过程中让学生学会思考，就是让学生理解数学问题，广泛联系相关的数学知识，深度探究解决问题的路径，无疑是非常重要的一个方面. 学生思考解决问题的过程中，体验对数学问题的抽象分析过程，发展抽象素养;在找到问题中量之间的关系使复杂问题转化为易于解决的问题的过程中，锻炼学生数学建模能力和逻辑推理能力，提升数学建模素养和逻辑推理素养;数学推理离不开数学运算，数学抽象离不开数学想象，这必然发展数学运算素养和直观想象素养. 因此，让学生学会思考，并能深度思考，一定能极大地提升学生的数学思维品质，进而提升学生的数学核心素养，促进学生全面发展，终身受益.

[⇩] 遵循数学思维策略，促使学生学会思考

数学思维能力的提升，要遵循数学思维的原则、规律，使思维过程少走弯路. 文章拟就探讨数学思维应遵循的基本策略，并举例说明其应用.

1. 简单化策略

在数学中，往往是未知与已知、高次与低次、空间与平面等问题互相联系、互相转化. 从解决问题的思维过程来看，通常是化繁为简. 主要途径是：（1）分解为简单问题的组合. 从已有的认知结构出发，设法将较繁的问题分解为按一定方式相联系的简单问题，分步解决. （2）分解为若干同类的子问题. 根据某一本质属性的差异，分为不同的种类，分类解决. （3）抽象为基本问题的推广. 对于抽象复杂的问题，从同类特殊情形中寻找可推广的结论和方法，迂回解决原问题. 这里将复杂问题转化为某个简单问题或几个简单问题的组合. 找到这个（这些）简单问题，将它（它们）解决掉，原有的复杂问题也就迎刃而解了.

简单化策略是指这种化陌生为熟悉、化高级为低级、化复杂为简单的思想方法. 这种对问题的简单化体现着要理清问题中各种量及其关系、概念间的联系、问题间的逻辑关系，有助于发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.

例1 设复数z=3cosθ+i2sinθ，并设复数z的辐角为α，求函数y=tan（θ-α）0<θ

<的最大值以及对应的θ值.

分析：此问题可分解为：

（1）求α的正切值. 由0<θ<知tanθ>0，且tanα==tanθ.

（2）将tan（θ-α）表为θ的函数，即y=tan（θ-α）==.

（3）求最大值及相应的θ值. 因为+2tanθ≥2，所以y≤，当且仅当=2tanθ

0<θ<

时，即tanθ=时，上式取等号.所以当θ=arctan时，函数y取得最大值.

这种分解与组合，使得复杂问题变得简单，思维自然流畅，逻辑关系清晰，条理性强. 对于数学基础较弱的学生，可以帮助他们找到解题的思路、成功的体验，能唤醒学生学习数学的兴趣与信心，发展学生的数学运算素养和逻辑推理素养.

2. 等价变换策略

如果命题A成立当且仅当命题B成立，那么就称A和B为等价命题，记为A⇔B. 能使变换前和变换后的命题等价的变换叫做等价变换. 等价变换的主要途径有：

（1）数学语言间的互译. 灵活地进行语言形态的变换，发挥它们各自的优势，发散思维，开阔思路;不同形态的数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的互译，往往能全方位、多角度地审视题目，简缩思维过程，摆脱思维受阻的困境，有利于培养思维的广阔性.

（2）引入辅助（变）量. 引入新的（变）量，促使原问题的形式结构向易于理解和解决的方向转化.

（3）恒等变形. 通过与已知问题结构的对比，找出异同，变异为同.

（4）数形转换. 将几何的直观和代数的灵活相结合，灵活地进行数形转化，不断优化解题的思维过程.

（5）图形变换. 利用某种变换手段恰当地进行图形变换，创造新的问题情境，寻求简明快捷的解题途径.

等价变换的过程就是不断地联想类比与变形推理的过程，能够丰富学生的想象力，增強推理能力，发展学生的直观想象素养和逻辑推理素养.

例2 设a，a，…，a都是正数，证明：不等式++…++≥a+a+…+a成立.

分析1：原不等式⇔

+a

+

+a

+…+

+a

+

+a

≥2a+2a+…+2a. 由+b≥2a（a>0，b>0）成立知原不等式成立.

分析2：原不等式⇔

-a1

+

-a2

+…+

-an-1

+

-an

≥（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）. 由-a≥a-b（a>0，b>0）成立知原不等式成立.

分析3：原不等式⇔

++…++

（a+a…+a+a）≥（a+a+…+a）2，由柯西不等式知原不等式成立.

对于某些问题，从其形式结构出发，与原有的认知结构联想类比，找出其异同，利用它们结构的相似性，进行恒等变形，应用已有结论导出新的结论.这种思维策略有助于培养学生思维的想象力，灵活性与深刻性，引导学生寻找疑难问题的数学本源，能促进学生逻辑推理素养的提升.

3. 映射反演策略

如果两个命题或系统的内容、形式、结构之间存在某种相似性，那么设法在它们之间建立一种对应关系，把原问题映射到其他领域中去解决，然后反演回原来的领域中求得问题的解答. 这种解决数学问题的方法叫做映射反演原则. 这里“映射”指实现命题转换的某种对应方法或变换手段，而“反演”指将变换后求得的解答转换成原问题的解答.

实施映射反演，就是一种构造的方法，通过类比联想，利用映射构造新的问题，使原来困难的问题转化为易于解决的问题，解决问题的思维中包含着联想、构造、抽象与推理等思维要素，能发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理与数学运算等素养.

例3 求sin220°+cos280°+sin20°·cos80°的值.

分析：对于每个给定的x∈R，在sinx，cosx之间建立对立关系，产生对偶式可帮助解题. 于是设a=sin220°+cos280°+sin20°cos80°，b=cos220°+sin280°+cos20°sin80°，则a+b=2+sin100°，a-b=-cos10°-，相加得a=.

例4 集合S={1，2，…，18}的五元子集S={a，a，a，a，a}中，任何两元素之差不为1，这样的子集S有多少个？

分析1：若分类考虑，明显太烦. 由于S中的每个元素都在S中且任何两个元素之差不为1，作子集S′={a，a-1，a-2，a-3，a-4}，则S′与S一一对应，而S′是{1，2，3，…，14}的五元子集，故共有C个.

分析2：原问题可转化为18名学生中有5名女生，要排成一排，其中任何两名女生不得相邻，问共有多少种不同的排法？

在解题过程中，采用辅助手段如对偶、换元、排序、赋值、分割、投影、放缩等，寻求与原问题相关的对应元素、情境和新问题，进行迁移和移植，使难题巧解，这种方法能够培养学生思维的发散性、深刻性和灵活性. 促进数学运算、数学抽象与逻辑推理等素养的形成.

4. 猜想验证策略

猜想验证原则指对某个数学问题通过实验与观察分析，提出该问题具有某种可能结果的猜想，然后多次验证，以逐步认识并找出该问题的解决方法.猜想指对某个新命题结论的猜想，也指对解题方向的猜想. 当结论是关于自然数的命题时，通常用数学归纳法证明.

这是一种由特殊到一般的思维方法，学生在长期的学习中形成了一般到特殊的思维定式，也就是习惯演绎推理，不熟悉使用合理推理解决问题的路径，培养学生用猜想验证解决问题能使思维更加全面灵活，使得逻辑推理素养进一步落实.

例5 求和S=arctan+arctan+arctan+…+arctan.

分析：对于该题，求和既无现成公式可用，也不知往何处简化. 但联想到S=++…+可使用错位相消法求和，因此猜想arctan=arctanα-arctanβ，若能找到這样的α与β，问题便迎刃而解了.不难验证α=2m+1，β=2m-1满足要求，于是可得S=arctan（2n+1）-.

猜想验证是探求问题结论的有效方法，它有利于培养思维的灵活性、缜密性、创造性，能综合提高数学素质.

5. 辩证转化策略

数学中充满着矛盾，如已知和未知、常量和变量、相等和不等、有限和无限、运动和静止、合并和分解等. 矛盾的双方既对立又统一，在一定的条件下，互相转化、互相制约. 当直接解决某数学问题有困难时，可转向探索与该问题相联的另一个相对的数学问题，再利用两者之间的依赖关系解决原问题. 称这种运用辩证思维策略来探索数学问题的方法为辩证转化原则.

辩证转化这一思维方式能使学生学会从正反两个方面考虑问题，证明一个问题的不成立性，从正面解决不好表达，难于下手. 要说明一个问题的不成立性，只要找到一个合适的反例即可，这也是研究数学问题常用的方法. 对于正面解决有困难的问题，可以转化为它的逆否命题，即假设结论不成立，找出与已知或事实矛盾的结果. 这能够培养学生思维的灵活性与深刻性，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理等素养.

例6 已知数列{an}，{bn}满足a=a+b，b=a+λb，且a=b=1，λ为常数. 设c=a+b，n=1，2，3，…，求证：λ≠时，{c}不可能是等差数列.

分析：用反证法解答. 设{c}是等差数列，则c=a+b=a+b+λ

-b=c+λ

-b，即{c}的公差d=λ

-b为常数，所以λ=或b=b=1. 因为λ≠，故b=1. 由b=a+λb，得a=1-λ也为常数;再由a=a+b，b=1及a=a为常数，导出1-λ=，得λ=，与λ≠矛盾. 故得证.

顺向推导有困难时就逆向推导，直接证明有困难时就间接证明. 这种正难则反的辩证思维策略往往使解题易于入手，有利于培养思维的灵活性.

例7 试求椭圆+=1的内接三角形面积的最大值.

分析：由面积射影定理联想到椭圆为一圆柱的截面，因此，椭圆内接△ABC在圆柱底面上的射影为圆内接△ABC，且当△ABC为正三角形时，椭圆内接△ABC的面积最大，易知截面与底面夹角的余弦值为，从而求得椭圆内接三角形面积的最大值为.

在平面上解决该问题，会陷入僵局，无计可施，利用“升”维变换到空间，茅塞顿开，浅显易见. 从问题的结构特点出发，灵活使用“次数”“维数”升降的辩证关系，改变思维角度，另辟蹊径，可摆脱思维受阻，走出困境. 数学中处处渗透着辩证法，数学科学也离不开辩证思维. 辩证思维的形式是多样的，在数学教学中，灵活应用这些辩证思维的策略，可优化学生的思维品质，提高思维的深刻性与全面性，促进数学抽象素养与逻辑推理素养的发展.

[⇩] 结语

通过对所属学校的高中学生数学学习情况的调研和访谈发现，现在的高中数学学习形成了一定的学习习惯和学习方法的定式，课堂上听课模仿做题，课后参考答案做题，相当多的学生没有答案搜答案，依赖答案完成作业，没有答案没法学习. 可见，让学生学会思考是培养学生数学核心素养刻不容缓的一项重要任务，让学生养成良好的思考习惯，形成一定的思考能力，有助于学生灵活运用数学思维策略去分析问题和解决问题. 只有学会思考，并能深度思考，才能发展学生的思维能力，遇到问题时才能独立思考并寻找解决方法，改变过去靠记忆和模仿学习数学的习惯;只有学会思考，学生才能感受到数学的内在美，感染和熏陶学生在心底由衷地喜欢数学，钻研数学，才能在教学中落实数学素养.