浅探数学解题规范在解题习惯培养中的应用

李玲琴

[摘  要] 学生在数学考试时常出现“懂而不会写”“会而不得分”的现象，究其原因，主要是学生不重视解题规范. 部分学生为了多“刷题”，在解题时仅写几个关键步骤，这样久而久之就不懂得該如何答题了，进而在高考中常因书写不规范而屡屡失分，得不偿失. 为此，在日常教学中必须重视解题规范，培养学生良好的解题习惯，使学生的数学语言应用更准确、解题过程更完整、数学思维更严谨，促进学生成绩全面提升.

[关键词] 解题规范;解题习惯;全面提升

学生数学考试失分的原因很多，如审题不清、计算错误等，然从平时阅卷反馈来看，因书写不规范而失分是普遍现象. 在数学学习中，很多学生不重视书写规范，认为只要答案对就是没问题的，不需要拘泥于细节，然正是这些细节反映了学生的思维习惯和学习习惯. 高考发榜后常有学生发现数学成绩比自己估算的差，有些学生因为分数相差悬殊而申请复查，从复查反馈来看，大多数都是因为书写不规范、解题步骤不完整而造成了失分，出现这一现象的原因就是教学中缺乏一定的规范性，平时的学习急于“刷题”，只重视结果是否正确而忽视了解题过程，缺乏良好的解题习惯. 因此，在日常教学和日常训练中一定要重视解题的规范性，这不仅有益于高考，也有益于未来的工作. 那么，培养解题规范需要从哪几方面入手呢？笔者选择了一套模拟卷，让学生经历自评、生评、师评等过程，通过纠正不规范来培养学生良好的答题习惯.

[⇩] 数学语言要严谨

数学语言是非常严谨的、准确的，仅一字之差其代表的意义很可能就是天壤之别;数学语言是简单明了、言简意赅的，最简洁的语言可以展现最本质的特征. 教师要发挥好数学语言的示范作用，对数学语言、数学符号的应用要做到准确无误. 另外，对学生所犯的错误要重点剖析，让学生找到错误发生的根源，进而提升学生的语言表达能力.

例1 A={x

x2+2x-3≤0}，B={x

x≤ -2或x≥1}，则A∩B=________.

阅卷时发现学生给出了如下的错误答案：①[-3，-2];②[-3，-2]∪{x=1};③{-2≤x≤-1或x=1}. 本题是基础题，也可以说是送分题，然很多学生因平时对书写没有严格的要求，只关注求解而不重视表达，因而造成了错误.

从例1可以看出，在日常的教学中对数学语言和数学符号的表达不够重视，致使用数学语言表达数学问题时出现了错误. 另外，若对数学语言不够重视，学生在解题时很难从题目的文字语言、符号语言或图形语言中提取重要的信息，这也限制了解题能力的提升. 因此，必须重视数学语言的规范性.

[⇩] 解题步骤要清晰

在平时考试时，乃至高考时都存在这样的现象，很多学生感觉解答题的前面几个小题较简单，为了预留更多的时间完成后面的复杂题，学生采用了压缩步骤法，这样因过程的缺失、逻辑不完整而被扣了很多过程分，得不偿失. 因此，在日常的考核中，教师对学生的解题过程的控制要严格，切勿存在感情色彩，认为写出答案就说明学生是会的，只要提醒学生下次书写注意就可以了，然高考评卷有着严格的要求，只有平时能做到高考这样严格的要求才能在高考中不因此失分.

例2 已知函数f（x）=4cosxsin

x+

+m（m∈R），当x∈0

，时，f（x）的最小值为-1.

（1）求m值及变量x为何值时f（x）取最小值;

（2）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积.

为了让学生能更好地规范有步骤的书写，教师选取了答题中较普通的写法进行展示.

师：对于函数表达式这样的转化，你怎么看？（教师用PPT展示解答过程）

f（x）=sin2x+cos2x+1+m=2sin

2x+

+1+m.

生1：结果是正确的，然步骤不全，对两角和与差的公式及二倍角的公式表述得不够清晰.

师：谁能帮忙修改一下呢？

生2：我认为应该这样写：

f（x）=4cosx

sinx+cosx

+m

=2sinxcosx+2cos2x+m

=sin2x+cos2x+1+m

=2sin

2x+

+1+m.

师：很好，这样解答过程就完整了. 解题时给出正确的答案固然是重要的，然解题过程的可读性也是不容忽视的.

师：我们再来看一下，问题（2）的解答过程是否完美呢？（教师继续用PPT展示解答过程）

由（1）化简后得f（C）=2sin

2C+

=1，所以sin

2C+

=，故C=. 在△ABC中，设BC=x，因为AD=5，BD=BC=x，则AB=5-x. 由余弦定理得x=BC=，AB=;由正弦定理得sinA=·sin=. 所以△ACD的面积S=AC·AD·sinA=.

解答过程给出后，教师让学生共同探究，以让学生通过纠错来发现自己的不足.

生3：我认为由sin

2C+

=，直接推导出C=有些过急了，在这里需要说明C是△ABC的一个内角，故C∈（0，π），2C+∈

，

，在该区间上，函数值所对应的角唯一.

生4：在应用余弦定理求x时，应加上“（5-x）2=x2+42-2·x·4cos”. 同样，在应用正弦定理时应写明“=”.

师：两位同学说得非常有道理，补充后解答过程就完美了. 在应用公式解题时一定要注意公式的完整性，不要认为大家都知道的就可以省略，那样会因步骤缺失而失分，会做的题目不失分才是高考成功的法宝.

在本题教学中，教师展演了学生的解答过程，引导学生发现不足，以此引起学生对答题步骤的重视. 最熟悉的内容往往是失分最严重之处，如公式、定理等，主要原因就是平时的训练不够规范——由于高中数学作业多、考试多，教师的日常评价更侧重于结果，致使学生平时练习时就不关注过程，因此日常训练必须养成严谨的态度.

[⇩] 作图要规范

作图是解题的工具，也是数形有效结合的前提，是高中学生必备的基本能力. 良好的、规范的作图习惯不仅有利于学生解题，而且方便阅卷. 若学生作图不规范，不仅不能发挥其直观、准确、高效的作用，反而会对解题带来干扰，因此作图的规范性必须要重视.

例3 如图1所示，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2.

（1）求证：AC∥平面DEF;

（2）若二面角D-AB-E是直二面角，棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？

因学生的思维方式不同，故其在作图时可能采用不同的方法，如在解决例3的问题（1）时，有部分学生画出了如图2所示的图形，其目的是借助于线线平行（FG∥AC）推导出线面平行（AC∥平面DEF）;也有部分学生画出了如图3所示的图形，想通过面面平行（平面DEF∥平面ACM）推导出线面平面（AC∥平面DEF）. 无论学生采用哪种方法，都要利用好虚实线正确地表达出来，只用这样才能方便解题、方便阅卷.

[⇩] 逻辑推理要严谨

数学解题过程也是一个演绎推理的过程，在这个过程中必须保证思维的严谨性，证明过程中虽然有些大的前提条件可以省略，但小的前提条件必须是齐全的、充分的，只有这样才能保障会做的题目不失分.

在解决例3的问题（2）时，有学生解答时是这样直接写的：“由已知条件可知，∠EBC=.”在立体几何证明中这样的推理显然是不严谨的，应这样修改：“因为四边形ABCD是正方形，所以CB⊥AB，又AB⊥BE，所以∠EBC是二面角D-AB-E的平面角，且二面角D-AB-E是直二面角，所以∠EBC=.”修改不仅合理地利用了已知，而且合理地利用了二面角的概念，这样使推理更加严谨，使解题思路更加清晰.

在解题过程中要慎用“显然”“由已知”等这样带着主观判断的字眼，如直接写“由已知得”，那么已知哪几个条件呢？已知条件是否充分呢？阅卷人难以知晓. 因此，在解题时应注意已知条件的“抄写”，要使每步推理过程都有据可依.

[⇩] 文字说明不能少

在解题过程中添加必要的文字说明才能交代清楚由哪些已知条件可以推理出哪些结论，或者根据哪个定理、公式得到什么，等等. 有了这些简要的文字说明才能使得整个解题过程清晰明了，使解题过程更有可读性，阅卷教师阅卷起来会更轻松，进而有效避免“会而不得分”的尴尬.

例4 已知函數f（x）=xlnx+2，g（x）=x2-mx. 若存在x∈

，e使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围.

在解答过程中，有学生是这样写的：“mf′（x）+g（x）≥2x+m，m（x-lnx）≤x2-2x，m≤，p（x）=……”

从学生的解答过程可以看出，没有任何文字语言，哪个是已知？哪个是结论？条件x∈

，e起到了什么作用？因为没有文字语言的串联，使得解答过程毫无可读性，这样也会造成失分.

求解过程可以修正如下：由mf′（x）+g（x）≥2x+m整理得m（x-lnx）≤x2-2x. 因为x∈

，e，所以lnx∈[-1，0]，所以x-lnx>0，所以原问题转化为m≤在x∈

，e上有解. 令p（x）=，x∈

，e……

通过言简意赅的文字，使得解题思路清晰明了，思维严谨，大大增加了求解过程的可读性，长此以往，对学生思维能力的培养也是有益的.

另外，除了以上强调的几点外，学生在演算和书写过程中也要注意过程和美观，切勿因急于求成而出现“跳步”“漏写”等情况的发生. 若想在高考中取得好成绩，就要在日常训练中关注解题细节，养成良好的解题习惯和书写习惯.