基于数学建模素养的高中数学课堂教学研究

石凤燕

[摘  要] 作为数学学科六大核心素养之一，数学建模素养对发展学生的学科素养具有重要作用. 文章以“生活中的优化问题”教学为例，探讨了基于数学建模素养的高中数学课堂教学实践，提出了发展学生数学建模素养的有效路径.

[关键词] 数学建模;核心素养;课堂教学

作为引导学生应用数学思维观察世界、思考世界、表达世界的重要手段和载体，数学建模能力的培养不仅能够帮助学生灵活巧妙地利用所学知识将错综复杂的实际问题抽象化、简洁化，而且也能应用数学模型有效解释某些客观现象、预测未来发展规律，甚至还可以为鼓励或控制某一现象的发展提供良好的策略，很好地培养学生的创新意识和实践能力. 而随着以核心素养为价值取向的课程改革的逐步深入，指导学生开展数学建模活动，体验完整的建模过程，提高模型求解能力[1]，对数学建模素养落实在课堂教学中具有重要的意义.

下面以高中数学“生活中的优化问题”教学为例，探讨基于数学建模素养的高中数学课堂教学实践.

[?]教学内容与目标分析

数学应用贯穿了整个高中教学过程，“生活中的优化问题”是在学生学习完导数的概念、导数在函数中的应用等相关知识后，对所学知识的真实体验和应用. 若从认知结构方面分析，对于生活中的一些简单实际问题，高中学生已经具备了数学建模的经验和知识，但是在面对复杂实际的问题时，对于避免不必要的干扰要素，分析筛选出其中的关键因素，进而将其转化为较理想、简单的数学问题还存在一定的困难，特别是在分析实际问题背景、利用数学结论解释生活现象、结论验证不正确时如何优化研究过程等方面还没有形成思维习惯，建模和解模对于高中学生而言仍然是一个难点.

基于以上分析，将“生活中的优化问题”课堂教学目标设计如下：

（1）体验导数在解决有关函数的实际问题中的应用;

（2）提升学生分析和解决实际问题的能力，培养求真务实、严谨治学的科学态度.

（3）熟悉数学建模步骤，进一步发展学生的数学建模素养.

教学难点：如何将复杂的实际问题反复调整为合理的数学模型.

教学重点：明确数学模型的建立步骤，利用导数解决有关函数的实际问题.

[?]主体教学过程设计

1. 创设情境，提出问题

问题1：饮料是大家日常生活中最为常见的物品，最早在市场上出现的饮料是运用“大瓶”进行包装的，而随着人们生活水平的提高，市场上的饮料包装逐渐向“易拉罐装”方式转变，请你分析一下这是为什么. 假如你是某饮料生产商，你认为开发“易拉罐装”的饮料，需要哪些方面的研究，具体要考虑哪些因素.

教师活动：提问与引导.

教学评价：数学核心素养是从具体情境问题中体现出来的，而这里所创建的情境问题，必须是学生非常熟悉的，是学生能够从数学的角度发现和提出的[2]. 同时，还能让学生体会到数学知识在具体生活中的应用.

2. 数学建模，解决问题

问题2：根据相关统计，通常情况下成年人每天的平均饮水量为355 ml. 若某品牌饮料设计的容量为V ml，瓶身类似于圆柱体，为了节省原材料，请问：如何设计这个圆柱体瓶身的尺寸？如何应用数学语言表示上述问题？[3]

教师活动：多重设问引导学生提炼关键信息，提问并组织学生解题.

教学评价：通过交流讨论，学生在熟悉的情境中完成了由现实问题转化为数学问题的第二次抽象，有效促使学生感悟数学与现实之间的联系;并在此基础上，引导学生预设该圆柱体瓶身的高为h，底面半径为r，则体积可表示为V=πr2h，获得h=，而圆柱体瓶身的表面积可表示为S=2π

r2+

，进而将这一现实问题转化为了“当r取何值时，圆柱体的表面积S最小”;最后引导学生得出：当r=，h===2r时，S取得最小值.

问题3：上述求证过程反映在实际生活中具体表示为什么，能否应用相应的圆柱体易拉罐进行验证？通过分组的形式测量一个可口可乐易拉罐的尺寸.

教师活动：提供帮助，组织学生测量.

教学评价：对数学模型h=2r的解释和证明能够帮助学生提升应用数学语言的能力;同时，也有利于学生动手实践能力的提高.

问题4：现实结果与研究结果并不一致，能否进一步进行阐述说明？有人认为，结果不一致主要有以下两个原因：一是易拉罐顶盖的厚度、易拉罐罐底以及罐身的厚度不一样;二是上述研究过程将易拉罐近似地看作一个圆柱体. 你认为上述哪个方面对研究結果的影响较大，能否对已经建立的模型进行优化？

教师活动：引导学生进行反思，多角度培养学生发现问题、解决问题的能力.

教学评价：数学模型的建立本身就是一个反复验证、优化的过程，而问题4的探究还能进一步培养学生锲而不舍的精神.

问题5：若在上述模型建立过程中，不再忽略易拉罐顶盖和其他部分材料厚度的差异，能否重新确定参数建立数学模型？

教师活动：呈现资料，及时给予引导和帮助.

教学评价：虽然此问题看似前面问题的“重复”，但实质上对于高中学生而言，要跳出原有的思维重新建立模型，本身具有挑战性. 而且，前面问题要求的是表面积的最小值，而此问题要求的是体积的最大值. 值得一提的是，问题5的探究若在课堂上无法完成，则教师可以采取小组讨论的形式，在课后通过研究性学习的方式要求学生建立数学模型.

3. 反思归纳，总结提升

问题6：根据上述教学活动，请归纳出利用数学建模解决实际问题的具体步骤和注意事项. 本节课程教学中，你还有哪些收获？能否从数学经验、数学思想等方面进行表达？

教师活动：引导学生进行反思和表达，归纳建模解模的步骤.BDAA7C06-1939-4CDD-8551-5B1024F9FF1C

教学评价：归纳总结是数学建模过程中不可或缺的环节，而利用导数求解函数最值是一种很重要的思想和方法. 同时，实际问题较为复杂，因此教师还要不断引导学生在反复实践、验证、优化的基础上获得研究成果.

[?]教学思考及启示

1. 基于数学建模素养，引导学生用数学眼光发现问题

应用导数解决函数最值问题是重要的数学模型，其建模的主要任务就是在学生较为熟悉的生活情境中建立模型，并将模型反作用于实际问题中. 但很多函数、数列等数学应用问题都是在明确变量后，为了便于学生的自主学习简化出来的，这就导致学生从实际问题情境中发现和提出问题的能力弱化了. 因此，在具体的数学建模素养培育的过程中，教师应让学生多接触实际生活中的数学问题，更加注重教学内容中体现了哪些数学思想和数学方法.

2. 基于数学建模素养，引导学生学会数学思考

应用导数解决函数最值问题的教学中，不能仅以学生单纯发现问题及结论为基本宗旨，还应为后续的学习提供服务，如数学建模过程中所蕴含的数学模型思想就是学生良好的学习素材. 因此，教师还应在数学建模教学中充分发挥学生的主体作用，及时引导学生在“想中做”“做中思”，学会数学思考，在高效的讨論交流中思考得更加透彻，观察得更加明白，才能在未来的学习探究中达到“以不变应万变”的效果.

3. 基于数学建模素养，在深度学习中发展数学思维

核心素养是个人软能力与既定知识技能的有机结合，而要在课堂教学中有效落实核心素养，就要培养学生会思考、会体验、会表达的数学思维能力. 具体而言，就是要求教师能够根据教学主题，围绕核心问题不断创设情境，有效调动学生思考的积极性，并以问题为载体，引领学生在深度探究学习中经历解决问题的过程，有效帮助学生积累数学活动经验，领会蕴含在其中的数学思想和方法，从而达到培养学生数学核心素养的目的.

总之，数学核心素养是在数学学习过程中逐渐形成的，而实践证明，通过一系列数学模型教学案例探析教学活动，学生的数学抽象、数学分析、数学运算、应用意识等均得到了不同程度上的提高. 因此，教师应强化数学建模思想的核心地位，站在学生的角度去看数学建模[3];善于发挥教学主导和引领的作用，引领学生在深度探究学习中体验完整的建模过程，领会蕴含在其中的数学思想和方法，提高学生运用数学模型的能力，有效全面落实学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]  孔志文，白雪峰. 探寻数学建模素养落地生根的有效路径[J]. 基础教育课程，2019（10）：35-40+46.

[2]  金一鸣，常梨君. 基于应用问题发展数学建模素养——以概率应用题为例[J]. 数学之友，2021（08）：73-75.

[3]  姜玮. 高中数学建模中优化问题的建模与实现研究[D]. 华中师范大学，2015.BDAA7C06-1939-4CDD-8551-5B1024F9FF1C