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彰显对称之美,发展直观想象素养

2022-06-09徐建新林建瓯

数学教学通讯·高中版 2022年4期
关键词:对称性原点定点

徐建新 林建瓯

[摘  要] 对称问题在数学中无处不在.对称性在几何中的体现最为直观,如圆、椭圆、双曲线、抛物线等;大量的数学公式、定理等也具有对称形式. 因此,在分析问题、解决问题时不仅要善于发现、更要懂得利用图形的对称性引导解题方向. 运用对称思想可以使思维和推理过程更简洁.

[关键词] 对称;直观想象素养

数学中,几何图形有轴对称、中心对称、镜像对称等;大量的数学公式、定理等也具有对称形式;数学的许多研究对象、研究方式等也都与对称有关. 解题时,如果能够注意观察、充分挖掘题目中的对称因素,在分析问题、解决问题时有意识地利用对称性,可以使思维和推理过程更简洁.文章结合几道试题谈谈对称性在数学解题中的应用.

[⇩] 利用图形的对称性巧妙建立直角坐标系

例1 在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N(不与A,C重合)是AC边上的两个动点,且满足

=,则·的取值范围为(  )

A.

, 2 B.

, 2

C.

, 2

D.

, +∞

解法1:以点B为原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图1所示.由A(0,2),C(2,0),得直线AC的方程为x+y=2.设M(a,2-a),则N(a+1,1-a),且0<a<1. 所以=(a,2-a),=(a+1,1-a),所以·=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2. 因为0<a<1,所以·的取值范围为

, 2

,故选C.

解法2:以AC所在的直线为x轴,AC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图2所示,则B(0,),A(-,0),C(,0). 设M(a,0),则N(a+,0),且-<a<0. 所以·=(a,-)·(a+,-)=a2+a+2. 又-<a<0,所以·的取值范围为

, 2

,故选C.

點评:该题是平面向量中一道典型的求向量数量积的取值范围问题,可以通过建立平面直角坐标系,将数量积问题转化为坐标运算. 由∠ABC=90°,学生不假思索地选择以点B为原点建立平面直角坐标系,但设M(a,2-a)后,如何由

=得到点N的坐标是继续解题的障碍. 将通过正交分解成+,如图3所示. 在等腰直角三角形MPN中,可以直观找到点N的坐标与点M的坐标之间的关系:x=x+1,y=y-1.解法2利用的是等腰三角形的对称性,打破了思维定式,以AC所在的直线为x轴建系,使动点落在x轴上,更方便由

=得点N的坐标.

[⇩] 利用对称求最值

例2 在平面直角坐标系中,点A,B 分别是x,y轴上的两个动点,有一定点M(3,4),则

MA

+

AB

+

MB

的最小值是(  )

A. 10  B. 11

C. 12  D. 13

解:如图4所示,点M关于x,y轴的对称点分别为M(3,-4),M(-3,4). 由图形的对称性可知,MA=

MA,MB=

MB.所以MA+AB+MB=

MA+AB+

MB≥

M

M=10(当且仅当M,A,B,M四点共线时取等号),故选A.

例3 若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.

解法1:由a>0,b>0,得

+

[(3a+2)+(3b+2)]=2++≥4(当且仅当a=b=时取等号). 又(3a+2)+(3b+2)=7,所以+的最小值为.

解法2:由代数式中a,b的轮换对称性可知,当且仅当a=b=时,+有最小值,代入得该式的最小值为.

点评:例2中根据图形的对称性将线段MA,MB转化为MA,MB. 根据平面几何知识可知,两点间线段最短,所以当四点共线时三条线段之和最小. 例3的解法1将代数式乘[(3a+2)+(3b+2)],利用常量代换,再结合基本不等式解决最值问题,但此方法难度较大,不易想到. 解法2充分利用代数式中字母轮换对称的结构特征,引发学生大胆猜想,迅速获得答案.

[⇩] 利用对称减少运算量

例4 设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点. 过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P. 若

PF1

=

OP

,则C的离心率为(  )

A. B. 2

C. D.

分析:如图5所示,在Rt△OPF中,易知

PF

=b,

OF

=c,所以

OP

=a. 在△PFF中,

PF

=a,

PF

=b,

FF

=2c,cos∠PFF=. 由此,先利用余弦定理得到a,b,c的关系,再由b2=c2-a2消去b,得到a,c的关系,进而求出离心率,但运算量较大.若注意到双曲线及其渐近线都关于原点中心对称,作出点P关于原点O的对称点,可以大大减少运算量.

解:如图6所示,延长PO至点P′,使

PO

=

OP′

,连接P′F,P′F. 由图形的对称性可知,四边形PFP′F为平行四边形.在Rt△OPF中,由点F(c,0)到渐近线y=x的距离d==b,可得

PF

=b,所以

OP

=a. 在Rt△PP′F中,由

FP′

=

PF

=a,

PP′

=2a,得

FP

=a,所以a=b.离心率e==,故选C.

点评:抛物线是轴对称图形,圆、椭圆与双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称性是圆锥曲线的重要性质,灵活运用圆锥曲线的对称性往往能使问题化难为易,简化运算.

例5 (2020年春季福建省泉州市高一数学期末质量检测试题)已知f(x)=sin

x

+-cos

x

+,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=________.

分析:化简原函数,得f(x)=2sin,所以函数的最小正周期T=6. 又2020=336×6+4,所以只需要求f(1)+f(2)+…+f(6)和f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值即可. 若逐个代入计算,既费时又易出错. 如图7所示,作出y=sinx在[0,2π]上的图像,并将该区间分成6等份,由y=sinx在[0,2π]上关于点(π,0)对称,可得f(1)+f(2)+…+f(6)=0,且f(3)=0,f(2)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=f(1)=.

点评:三角函数图像也是重要的轴对称图形、中心对称图形.求解本题利用的就是正弦函数图像的中心对称性,引导学生在直观感知的基础上整体计算函数值,既提高学生思维的灵活性,培养学生数形结合思想,又发展学生直观想象和数据分析等素养.

[⇩] 利用对称找定点

例6 (2021年福建省厦门市高三第一次质量检测试题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,

FF

=4,且a=b.

(1)求C的方程;

(2)若A,B为C上的两个动点,过F且垂直x轴的直线平分∠AFB,证明:直线AB过定点.

解:(1)C的方程为+=1.

(2)如图8所示,由椭圆的对称性可知,直线AB所过的定点M必在x轴上. 由椭圆方程得F(2,0). 当A(0,2)时,∠AFO=∠BFx=45°. 将直线BF的方程y=x-2代入椭圆方程+=1,得3x2-8x=0. 所以,点B的坐标为

,,此时直线AB的方程为x+2y-4=0,得点M(4,0).

以下证明M(4,0)就是满足条件的定点:

当A,B都落在x轴上时,直线AB显然过点M(4,0);

当A,B不落在x轴上时,由直线AB经过点M(4,0),可设其方程为x=my+4,A(x,y),B(x,y). 由

+

=1,

x=my+4,得(m2+2)y2+8my+8=0. 由Δ=(8m)2-32(m2+2)>0,得m2>2. 由y+y=-,yy=,得k+k=+=+==0.即∠AFO=∠BFx恒成立. 故過F且垂直x轴的直线恒平分∠AFB.所以,当过F且垂直x轴的直线平分∠AFB时,直线AB过定点M(4,0).

点评:对称性思想在笛卡尔创建的解析几何学中运用得淋漓尽致,展现了代数与几何的和谐统一. 如各种曲线标准方程的推导充分利用了图形本身的对称性,使得推导过程运算简便,方程更具对称美.本题中,利用图形的对称性,先判断定点的位置,再由特殊情况定量计算出定点的坐标,最后严格证明该点就是满足条件的定点,这是寻找定点问题的常用方法.该方法充分体现了先猜后证、从特殊到一般解决问题的重要思路.

[⇩] 利用对称认识数学的审美价值

例7 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+

x

y就是其中之一(如图9所示). 给出下列三个结论:

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中,所有正确结论的序号是(  )

A. ① B. ②

C. ①② D. ①②③

分析:由图形的对称性,先考虑x>0的情况:此时曲线C的方程为x2+y2=1+xy. 由x2+y2=1+xy≤1+,得x2+y2≤2,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过,结论②正确. 同时,由x2+y2≤2,得x2≤2. 因此,只需考虑x=1,此时曲线C经过的整点有(1,0),(1,1). 由图形的对称性可知,当x<0时,曲线C经过的整点有(-1,0),(-1,1). 又x=0时,y2=1,曲线C经过的整点有(0,1),(0,-1),结论①正确. 如图10所示,A(0,-1),B(1,0),C(1,1),D(0,1). 所以,四边形ABCD的面积S=×1×1+1×1=,显然“心形”区域的面积大于2S,即大于3,结论③错误.

点评:利用图形的对称性,先考虑图形在y轴右侧的情况,简化问题. 结合基本不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值,并确定x的范围,从而得到整点坐标和个数;同时,利用对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 学生在欣赏数学美的过程中感受对称思想在解题中的应用,引导学生感悟数学的审美价值,渗透“美育思想”.

波利亚说:“对称的东西要尽量对称地去处理,不要随意破坏任何自然的对称性.”对称思想是研究数学问题常用的思想方法. 数学中,几何图形的对称性最直观,通过画出图形就能容易发现具有对称性的对象.解题时,教师应指导学生不仅要善于发现、更要懂得利用图形的对称性引导解题方向,简化运算,这样才能逐步提高学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的能力.

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