彰显对称之美,发展直观想象素养

徐建新 林建瓯

[摘  要] 对称问题在数学中无处不在.对称性在几何中的体现最为直观，如圆、椭圆、双曲线、抛物线等;大量的数学公式、定理等也具有对称形式. 因此，在分析问题、解决问题时不仅要善于发现、更要懂得利用图形的对称性引导解题方向. 运用对称思想可以使思维和推理过程更简洁.

[关键词] 对称;直观想象素养

数学中，几何图形有轴对称、中心对称、镜像对称等;大量的数学公式、定理等也具有对称形式;数学的许多研究对象、研究方式等也都与对称有关. 解题时，如果能够注意观察、充分挖掘题目中的对称因素，在分析问题、解决问题时有意识地利用对称性，可以使思维和推理过程更简洁.文章结合几道试题谈谈对称性在数学解题中的应用.

[⇩] 利用图形的对称性巧妙建立直角坐标系

例1 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）是AC边上的两个动点，且满足

=，则·的取值范围为（  ）

A.

， 2 B.

， 2

C.

， 2

D.

， +∞

解法1：以点B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图1所示.由A（0，2），C（2，0），得直线AC的方程为x+y=2.设M（a，2-a），则N（a+1，1-a），且0<a<1. 所以=（a，2-a），=（a+1，1-a），所以·=a（a+1）+（2-a）（1-a）=2a2-2a+2. 因为0<a<1，所以·的取值范围为

， 2

，故选C.

解法2：以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，则B（0，），A（-，0），C（，0）. 设M（a，0），则N（a+，0），且-<a<0. 所以·=（a，-）·（a+，-）=a2+a+2. 又-<a<0，所以·的取值范围为

， 2

，故选C.

點评：该题是平面向量中一道典型的求向量数量积的取值范围问题，可以通过建立平面直角坐标系，将数量积问题转化为坐标运算. 由∠ABC=90°，学生不假思索地选择以点B为原点建立平面直角坐标系，但设M（a，2-a）后，如何由

=得到点N的坐标是继续解题的障碍. 将通过正交分解成+，如图3所示. 在等腰直角三角形MPN中，可以直观找到点N的坐标与点M的坐标之间的关系：x=x+1，y=y-1.解法2利用的是等腰三角形的对称性，打破了思维定式，以AC所在的直线为x轴建系，使动点落在x轴上，更方便由

=得点N的坐标.

[⇩] 利用对称求最值

例2 在平面直角坐标系中，点A，B 分别是x，y轴上的两个动点，有一定点M（3，4），则

MA

+

AB

+

MB

的最小值是（  ）

A. 10  B. 11

C. 12  D. 13

解：如图4所示，点M关于x，y轴的对称点分别为M（3，-4），M（-3，4）. 由图形的对称性可知，MA=

MA，MB=

MB.所以MA+AB+MB=

MA+AB+

MB≥

M

M=10（当且仅当M，A，B，M四点共线时取等号），故选A.

例3 若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为________.

解法1：由a>0，b>0，得

+

[（3a+2）+（3b+2）]=2++≥4（当且仅当a=b=时取等号）. 又（3a+2）+（3b+2）=7，所以+的最小值为.

解法2：由代数式中a，b的轮换对称性可知，当且仅当a=b=时，+有最小值，代入得该式的最小值为.

点评：例2中根据图形的对称性将线段MA，MB转化为MA，MB. 根据平面几何知识可知，两点间线段最短，所以当四点共线时三条线段之和最小. 例3的解法1将代数式乘[（3a+2）+（3b+2）]，利用常量代换，再结合基本不等式解决最值问题，但此方法难度较大，不易想到. 解法2充分利用代数式中字母轮换对称的结构特征，引发学生大胆猜想，迅速获得答案.

[⇩] 利用对称减少运算量

例4 设F1，F2是双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点. 过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P. 若

PF1

=

OP

，则C的离心率为（  ）

A. B. 2

C. D.

分析：如图5所示，在Rt△OPF中，易知

PF

=b，

OF

=c，所以

OP

=a. 在△PFF中，

PF

=a，

PF

=b，

FF

=2c，cos∠PFF=. 由此，先利用余弦定理得到a，b，c的关系，再由b2=c2-a2消去b，得到a，c的关系，进而求出离心率，但运算量较大.若注意到双曲线及其渐近线都关于原点中心对称，作出点P关于原点O的对称点，可以大大减少运算量.

解：如图6所示，延长PO至点P′，使

PO

=

OP′

，连接P′F，P′F. 由图形的对称性可知，四边形PFP′F为平行四边形.在Rt△OPF中，由点F（c，0）到渐近线y=x的距离d==b，可得

PF

=b，所以

OP

=a. 在Rt△PP′F中，由

FP′

=

PF

=a，

PP′

=2a，得

FP

=a，所以a=b.离心率e==，故选C.

点评：抛物线是轴对称图形，圆、椭圆与双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称性是圆锥曲线的重要性质，灵活运用圆锥曲线的对称性往往能使问题化难为易，简化运算.

例5 （2020年春季福建省泉州市高一数学期末质量检测试题）已知f（x）=sin

x

+-cos

x

+，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=________.

分析：化简原函数，得f（x）=2sin，所以函数的最小正周期T=6. 又2020=336×6+4，所以只需要求f（1）+f（2）+…+f（6）和f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值即可. 若逐个代入计算，既费时又易出错. 如图7所示，作出y=sinx在[0，2π]上的图像，并将该区间分成6等份，由y=sinx在[0，2π]上关于点（π，0）对称，可得f（1）+f（2）+…+f（6）=0，且f（3）=0，f（2）+f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=f（1）=.

点评：三角函数图像也是重要的轴对称图形、中心对称图形.求解本题利用的就是正弦函数图像的中心对称性，引导学生在直观感知的基础上整体计算函数值，既提高学生思维的灵活性，培养学生数形结合思想，又发展学生直观想象和数据分析等素养.

[⇩] 利用对称找定点

例6 （2021年福建省厦门市高三第一次质量检测试题）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，

FF

=4，且a=b.

（1）求C的方程;

（2）若A，B为C上的两个动点，过F且垂直x轴的直线平分∠AFB，证明：直线AB过定点.

解：（1）C的方程为+=1.

（2）如图8所示，由椭圆的对称性可知，直线AB所过的定点M必在x轴上. 由椭圆方程得F（2，0）. 当A（0，2）时，∠AFO=∠BFx=45°. 将直线BF的方程y=x-2代入椭圆方程+=1，得3x2-8x=0. 所以，点B的坐标为

，，此时直线AB的方程为x+2y-4=0，得点M（4，0）.

以下证明M（4，0）就是满足条件的定点：

当A，B都落在x轴上时，直线AB显然过点M（4，0）;

当A，B不落在x轴上时，由直线AB经过点M（4，0），可设其方程为x=my+4，A（x，y），B（x，y）. 由

+

=1，

x=my+4，得（m2+2）y2+8my+8=0. 由Δ=（8m）2-32（m2+2）>0，得m2>2. 由y+y=-，yy=，得k+k=+=+==0.即∠AFO=∠BFx恒成立. 故過F且垂直x轴的直线恒平分∠AFB.所以，当过F且垂直x轴的直线平分∠AFB时，直线AB过定点M（4，0）.

点评：对称性思想在笛卡尔创建的解析几何学中运用得淋漓尽致，展现了代数与几何的和谐统一. 如各种曲线标准方程的推导充分利用了图形本身的对称性，使得推导过程运算简便，方程更具对称美.本题中，利用图形的对称性，先判断定点的位置，再由特殊情况定量计算出定点的坐标，最后严格证明该点就是满足条件的定点，这是寻找定点问题的常用方法.该方法充分体现了先猜后证、从特殊到一般解决问题的重要思路.

[⇩] 利用对称认识数学的审美价值

例7 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+

x

y就是其中之一（如图9所示）. 给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（  ）

A. ① B. ②

C. ①② D. ①②③

分析：由图形的对称性，先考虑x>0的情况：此时曲线C的方程为x2+y2=1+xy. 由x2+y2=1+xy≤1+，得x2+y2≤2，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，结论②正确. 同时，由x2+y2≤2，得x2≤2. 因此，只需考虑x=1，此时曲线C经过的整点有（1，0），（1，1）. 由图形的对称性可知，当x<0时，曲线C经过的整点有（-1，0），（-1，1）. 又x=0时，y2=1，曲线C经过的整点有（0，1），（0，-1），结论①正确. 如图10所示，A（0，-1），B（1，0），C（1，1），D（0，1）. 所以，四边形ABCD的面积S=×1×1+1×1=，显然“心形”区域的面积大于2S，即大于3，结论③错误.

点评：利用图形的对称性，先考虑图形在y轴右侧的情况，简化问题. 结合基本不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值，并确定x的范围，从而得到整点坐标和个数;同时，利用对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 学生在欣赏数学美的过程中感受对称思想在解题中的应用，引导学生感悟数学的审美价值，渗透“美育思想”.

波利亚说：“对称的东西要尽量对称地去处理，不要随意破坏任何自然的对称性.”对称思想是研究数学问题常用的思想方法. 数学中，几何图形的对称性最直观，通过画出图形就能容易发现具有对称性的对象.解题时，教师应指导学生不仅要善于发现、更要懂得利用图形的对称性引导解题方向，简化运算，这样才能逐步提高学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的能力.