波利亚解题思想对数学教学中“教思考”的启示

贺文 夏小刚

[摘  要] 学生思维的发展是培育数学核心素养的关键要素. 从波利亚解题思想出发，借助于例题，利用已知激活学生的思维，在问题驱动的教学过程中渗透数学思想、回顾反思，这对培养学生的思维具有时代价值，对教师日常教学具有启发作用.

[关键词] 波利亚解题思想;教思考;數学教学

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya）一生发表了200多篇论文和专著，不仅在实变函数、概率论、数论等领域做出了许多开创性的工作，而且他发表的《怎样解题》《数学的发现》（第一卷、第二卷）《数学与猜想》（第一卷、第二卷）被译成许多国家的语言出版，其数学思想、教育思想被后世广为认可，并对数学教育的改革与发展产生了重要影响.

数学核心素养是学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，其内核在于“数学思考”，因此数学教学的根本任务就是“教思考”，即引导学生学会用数学思维思考世界. 学生能在基于问题情境的数学活动中学会如何提出问题、建构新知和解决问题. 然而，受应试教育思想的影响，中学数学教学依然普遍存在“重”掌握知识技能、“轻”发展学生数学素养的教学现象. 面对落实核心素养的教学要求，不少教师感到茫然，束手无策. 重温波利亚的解题思想，不仅能让我们进一步领略波利亚的数学教育观——“教会学生思考”，而且从启发性联想、多步化归、数学思考到回顾反思中，感受波利亚解题思想的精髓. 相信，这对于核心素养时代背景下如何教学生思考具有重要的启发意义.

[⇩] 波利亚的解题思想

启发性联想[1]是波利亚解题思想中的“精髓”. 在问题解决过程中，解题者要善于从已知量、条件等熟悉而又感兴趣的事物出发，大胆猜想. 正如波利亚在《数学的发现》（第二卷）中所提到的：“当我们在考察问题的过程中认出某些熟悉的图形时，我们会显得特别高兴.”[2]比如，在复杂的几何图形中，我们通过观察和辨认，找到了熟知的“三角形”，或是其他我们熟悉的图形，这促使我们产生“好想法”“好念头”，产生启发性联想. 因为一方面我们熟悉“三角形”的相关概念和定理，另一方面我们曾经解决过关于“三角形”的各种问题，可以说是有经验的. 这些原有的知识储备，也许在现有情形下也能派上用场. 一般来说，辨认能引导我们回忆起某些有用的东西，把有关知识动员出来[2]，启发性联想也由此产生.

多步化归[3]是波利亚解题思想中的“基础”. 通过对波利亚“怎样解题表”的观察和研究，发现其实质就是不断地将问题进行转化. 比如，将未解决的问题直接转化为一个已解决的问题，或者将未解决的问题转化为一个等价的问题，又或者先解决一个更特殊、更一般的问题. 在不断“转化”的过程中，拉进“已知”和“未知”之间的距离，从而打通已知和未知之间的路径，问题得到解决. 在教学过程中，通过波利亚“怎样解题表”中23个问题或提示语的启发，学生能不断将问题进行转化，经历“提出问题—解决问题”的过程，在“问题链”中层层击破，既解决了问题，又发展了思维. 如图1所示，需要解决问题n，若已经解决了问题（n-1），则还需要一步即可;但若要在问题0的基础上进行解决，那就需要进行多步化归了.

在此过程中，学生通过问题驱动，达到一个又一个的高度. 从解决问题的角度来说，“问题链”一环扣一环，以问题驱动教学，问题被逐一解决;从思维发展的角度来说，学生在螺旋式上升的过程中对问题的认识逐渐深入，思维得以发展.

数学思考是波利亚解题思想的“核心”. 纵观波利亚在数学教育上所聚焦的领域，从“解题”到“解题教学”再到“教师培训”，他一直强调要教会年轻人思考——不仅要教给他们知识，并且要教给他们“才智”，即思考问题的方式[2]. 在数学教学中，教师要懂得授人以“渔”，比如在解题的过程中，不仅要追求问题的结果和涉及的知识点，还要注重解答过程，即为什么这样思考？懂得教给学生思考的方式，使得学生的思维得以发展.

回顾反思是波利亚解题思想的“高地”. “回顾”是波利亚“怎样解题表”中的第四步，相比于前三步，它往往更容易被忽视. 然而，回顾却超越了解答所获得的答案;相反，回顾的目的就是最大限度地利用解决问题的过程而获取学习的机会，其实质就是反思. 反思不仅能帮助学生有效地学习和掌握数学知识，而且能培养和提高学生解决问题的能力[4]. 即使“回顾”处在波利亚“怎样解题表”的最后一环节，但笔者想要强调的是，它应该是一种及时的“反思”，即对刚刚完成的解决方案的部分所作出的回顾，它具有及时性. 学生通过及时的反思与回顾，能发展批判性思维，形成善于思考、严谨求实的态度，这也是落实立德树人、数学核心素养的体现.

[⇩] 波利亚解题思想对数学教学中“教思考”的启示

下面，笔者将从学生思维活动的角度，借助于例题，向读者展示波利亚解题思想对数学教学中“教思考”的启示.

例 △ABC的内角A，B，C分别对应边a，b，c，已知B=60°，c=1，若△ABC为锐角三角形，求S的取值范围.

问题已经明确，即求S的取值范围，那么根据波利亚解题思想的启示，笔者将从思维活动的起点、思维活跃发展、让思维更有效和回顾反思这四部分展开阐述.

1. 注重关联已知，思维活动的起点

如果将解决问题的过程形象成“修桥”，那么第一步就需要弄清楚现有的材料以及脑海中所储备的桥梁修建知识. 在例题中，一方面，条件已明确，即B=60°，c=1，△ABC为锐角三角形;另一方面，根据上述条件我们能将原有知识调动起来：

①任意三角形中，看到边、角关系可以联想到余弦定理、正弦定理;

②例题中，求解三角形的面积范围能联想到三角形面积的计算公式：S=acsinB.

学生在调动原有知识储备的同时，思维活动便开始了. 正是有了思维的作用，学生可以将自己已有经验中的某部分回忆出来，并且与手头上的问题联系起来，进而引发下一步的思考：能否从已知条件跨越到未知？能否拉近已知和未知之间的距离？

2. “问题链”驱动教学，思维活跃发展

“问题链”驱动相当于一个牵线搭桥的过程，这个环节通过“追问”与“转化”，不断从已知逼近未知，从而打通思路，获得解答. （如图2所示）

问题1：怎样求得S的范围？

通过回忆和辨认，调动起三角形面积的计算公式S=acsinB，并且根据例题给出的条件（B=60°，c=1）将式子进行化简，得到S=acsinB=a×1×sin60°=a. 这就把求S的范围转化成了求a的范围.

问题2：怎样求得a的取值范围？

a是△ABC的一条边长，根据以往储存在脑海中关于三角形的“边”的知识，不难联想到：在任意三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 这是针对任意三角形的“边”所满足的关系式. 如果依照例题给出的条件，将“任意三角形”限定为“锐角三角形”，那么能否得到一个关于锐角三角形三边更为精确的不等关系呢？进而，把求a的取值范围转化成求三角形三边的不等关系.

问题3：怎样才能求得锐角三角形ABC三边的不等关系？

通过查阅字典，“关系”的含义为：事物之间相互作用、相互影响的状态. 那么，在数学中，“三角形三边的关系”就是指三边具有相互作用的状态. 因此在锐角三角形中，求三边的不等关系，关键要得到一个三边相互制约的关系式，即如何将三边放在同一个关系式中. 通过关联已知，我们已经调动了正弦定理、余弦定理等相关知识储备. 通过余弦定理可以将三角形三边放在同一个关系式中，不妨尝试用余弦定理进行计算.

简解：已知B=60°，则A+C=120°，C=120°-A. 在锐角三角形ABC中，可知0<A<90°，0<120°-A<90°，故30°<A<90°. 根据余弦定理以及A的取值范围可得0<<①，即求得锐角三角形ABC三边的不等关系.

回顾问题2：怎样求得a的取值范围？

依据问题3得出的结论，再利用一次余弦定理cosB=，可以得到只关于a的不等式.

简解：在锐角三角形ABC中，已知B=60°，c=1，由余弦定理得cosB===，即b2=a2-a+1②. 将②式代入①式得0<<，解得<a<2，即为所求.

回顾问题1：怎样求得S的范围？

根据求得的a的取值范围以及三角形的面积公式可得S=acsinB=a×1×sin60°=a，于是<S<. 完成解答.

在“问题链”驱动环节下，学生思维活跃，并且具有指向性. 以上3个问题并不是孤立存在的，而是一环扣一环. 当发现眼下从“未知”走向“已知”的路不通，那么便可通过“转化”另辟蹊径，把未知的、待解决的问题一步一步转化为已知的、已解决的问题，用问题驱动的方式打通已知和未知之间的道路，让问题得以解答.

3. 渗透数学思想方法，让思维活动更有效

在应试教育的影响下，解题教学还存在着不足. 不少教师将解题教学流于表面，他们的教学往往停留在简单的小结和归类上，而缺少对数学思想方法的渗透和归纳[5]. 如果说“‘问题链’驱动”环节是一个牵线搭桥的过程，那么“渗透数学思想方法”就是一个能让学习者在“‘问题链’驱动”环节中少走弯路，更快达成目的，打通未知和已知的手段.

在数学教学中，教师要教会学生数学思考，即教师教学生在“提出问题的活动”中学会如何提出问题，在“寻找方法的过程”中学会如何寻找方法，在“建构新概念的活动”中学会如何建构新概念[6].

4. 及时回顾与反思

“回顾”是波利亚“怎样解题表”中的一个环节，将此环节运用好，能锻炼学生的反思能力，从而养成善于思考、严谨求实的态度，这也是《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标（2017年版）》）对该学段学生的期待，因此教师在“教思考”的过程中，很有必要将此环节应用于课堂.

再探波利亚“怎样解题表”，发现其具有三个层面的含义：“你能校对结果吗？”——强调解答过程的准确性，有利于培养学生严谨求实的态度;“你能从不同的方法得出结果吗？”——从不同的角度思考，从不同的角度解答，能培养学生的发散思维;“你能应用这结果或方法解决别的问题吗？”——《课标（2017年版）》明确提出“高考的命题建议”：注重数学本质、通性通法[7]. 学生思考一般的解题模型时，能懂得举一反三，把握知识的本质. 以下，笔者将从“一题多解”和“一般模型”的角度进行回顾与反思.

（1）一题多解：

解法1：在上述的解答过程中采取的是代数方法，是否能借助于几何方法进行解答？

已知B=60°，c=1，利用几何画板将确定不变的条件画出来，如图3所示.

锐角三角形ABC带有任意性与不确定性，不妨假设极限情况：当锐角三角形ABC成了直角三角形ABC（包含了极限思想方法）. 于是得到如下两种情形：情形1（如图4所示），c为斜边;情形2（如图5所示），c为直角边. 易证<S<.解法1渗透了极限思想方法和数形结合思想方法.

解法2：在上述问题3中求解锐角三角形ABC三边不等关系时，除了采用余弦定理外，还能采用其他方法吗？

联想类比直角三角形的勾股定理，通过勾股定理能将锐角三角形ABC的三边包含在同一式子中. 如图6所示，在锐角三角形ABC中，过A作BC邊的高，交BC于D. 在Rt△ADC中，x2+y2=b2;在Rt△ADB中，（a-x）2+y2=c2，则a2+b2=c2+2ax（a，b，c，x均为三角形边长，都大于零）. 故得到锐角三角形ABC三边的不等关系：a2+b2>c2.再由余弦定理得b2=a2-a+1，易求<a<2，则<S<. 解法2渗透了类比和转化思想方法.

（2）一般模型：

通过回顾与反思，能否找到更一般的模型？首先可以将例题进行抽象：在例题中，已知条件是“一边（边c）”和“一角（角B）”;限定条件是“△ABC是锐角三角形”;结论是“△ABC的面积存在一定范围”. 把握其本质，通过推广，可以获得许多模型，稍举两例加以说明：

①在钝角三角形中（限定条件），已知一边和一角（已知条件），是否可以求得该钝角三角形面积的范围（结论）？

②在任意三角形中，已知一边和一角（已知条件），且三角形三边满足一定的关系式（限定条件），是否可以求得该任意三角形面积的范围（结论）？

参考文献：

[1]  G·波利亚. 数学与猜想：数学中的归纳和类比（第一卷）[M]. 北京：科学出版社，2001.

[2]  G·波利亚. 数学的发现（第二卷）[M]. 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981.

[3]  顾泠沅，鲍建生. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[4]  Cai， Jinfa， and Michael Brook. 2006.“Looking Back in Problem Solving.” Mathematics Teaching Incorporating Micromath， no. 196（May）：42-45.

[5]  杨运标. “怎样解题表”在解题教学中的运用[J]. 中国数学教育，2019（07）：20-24.

[6]  涂荣豹. 数学教学设计原理的建构——教学生学会思考[M]. 北京：科学出版社，2018.

[7]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.