初中数学应用题的解题技巧

罗梦漪

【摘要】应用题是初中数学一类非常重要的题型，对学习者的理解以及分析问题的能力要求较高，是日常测试以及中考的热门考点，且相关习题占有较高分值.初中数学教学中为使学生掌握不同应用题题的解题技巧，提高学生解答不同类型应用题的能力，应做好应用题题型的总结，并做好解题示范，使其能够在以后的解题中以不变应万变，促进应用题解题能力以及数学成绩的有效提升.

【关键词】初中数学;应用题;解题技巧

初中数学应用题的题型较多，根据经验可将其分为二元一次方程的应用题、分式方程类应用题、不等式类应用题、三角函数应用题、二次函数应用题[1].不同类型应用题的解题思路、解题技巧有所不同，教学实践中应做好相关解题技巧理论的灌输，并展示如何运用相关技巧解题，给学习者以后解题带来良好启发.

1 二元一次方程类应用题解题技巧

二元一次方程的应用题解题技巧为：认真审题，在充分理解题意的基础上寻找相关参数之间的逻辑关系，在此基础上选择恰当的视角设出合理参数，构建二元一次方程组，最终运用二元一次方程组知识求解参数.需要注意的是解答二元一次方程的应用题时应确保最终的结果符合实际情况.教学实践中为使学习者能够全面地考虑问题，把握解答二元一次方程类应用题的相关细节，实践中可为学习者讲解如下.

例题 小明为班级购买书籍，回校后向班主任汇报说：“我买了两种书，合计30本，单价分别为20元，24元.买书前的700元，现在还剩38元”.班主任算了一下说：“你肯定搞错了”.

（1）班主任为什么说小明搞错了？运用所学进行解释;（2）小明拿出购物发票，发现其确实搞错了，其还购买了一个笔记本，但笔记本的单价不清晰，仅辨认出其为不满10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，则笔记本的单价是多少元？

该应用题创设的情境较为常规，题意也较容易理解.其中该题的第一问较为简单，构建二元一次方程组，不难解答.第二问难度较大，需要能够大胆的设出参数，并根据题意确定参数之间的大小关系，通过分析、确定最终的结果.

对于问题（1）根据两本书的总本数以及所花的钱数，够构建二元一次方程，设20元，24元书籍购买的本数分别为x，y，则可列出方程组x+y=3020x+24y=700-38，解得x=14.5y=15.5，x，y为整数，因此，可认为小明搞错了.

对于问题（2）设20元的数为a本，则24元的书为（30-a）本，笔记本的价格为b元，根据题意a>30-a，即，a>15.则依据总钱数可得20a+24（30-a）+b=700-38，解得a=14+2+b4>15，由b為不满10的整数可知b=6，即，笔记本的单价为6元.

2 分式方程类应用题解题技巧

分式方程类应用题解题技巧为：认真阅读题干内容，了解题干描述的情境，结合自身学习以及生活经验确定题干中参数之间的潜在关系，确定以哪个参数列方程.求解列出的方程后还应注重检验结果是否正确.初中数学能够运用分式方程解决的应用情境较多，如路程问题、追击问题、工程量问题等，因此，为提高解题正确率应注重要求学习者牢记常见的应用题情境以及相关公式，为尽快的找到解题突破口做好铺垫.授课中可为学习者讲解如下.

例题 小明家和科技馆相距1900米，一天骑步行去科技馆看表演，走到路程的一半发现忘记带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是其立刻步行回家取票.然后骑车赶往科技馆.若小明骑车到科技馆比其步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行的5倍，小明进家取票的时间共用4分钟.请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，通过计算说明理由.

通过审题可知该题需要构建路程、速度、时间之间的分式方程.求出小明步行以及骑车的速度，而后结合剩余的时间、路程，通过计算进行判断.

设小明步行的速度为x米/分钟，则骑车的速度为5x米/分钟.根据步行、骑车的时间关系可列方程：1900x-19005x=20，解得x=76.经检验x=76是原分式方程的解，即，小明每分钟步行速度为76米/分钟.根据题意需要计算小明返回和骑车的总时间，即12×190076+19005×76+4=21.5分钟，小于23分钟，因此，小明能够在表演开始前到达科技馆.

3 不等式类应用题解题技巧

初中数学讲解的不等式主要为一元一次不等式，因此，相关应用题也围绕一元一次不等式知识设问.解答该类应用题技巧为：审题时把握构建不同关系的关键词，如“不多于”、“不少于”、“不超过”等.另外，如题干中涉及的参数为两个时，应明确哪个参数为主元，而后结合所学知识进行分析，尤其当相关参数的取值范围不确定时应注重准确划分讨论的界限进行分类讨论.授课中为使学习者掌握上述技巧，增强其解答相关应用的自信，可为学习者讲解如下.

例题 某商店准备购进A、B两种商品，每件A商品进价比每件B商品多5元，且用800元购进A商品和用400元购进B商品的数量相同.若共购买这两种商品100件，且购进资金不少于800元，不多于850元，则商店有几种购进方案？若销售A商品的利润为m元，销售B商品的利润为（6-m）元，则怎样采购才能获得最大利润？（商品售价不低于成本价）.

该应用题题干较为简单，但是对学习者的理解能力要求较高.解答该应用题时需要明确先求解A、B两件商品的进价，而后根据“不少于”、“不多于”构建不等式关系，确定参数的取值范围.同时，写出有关利润的表达式，分析表达式中各参数的取值范围，联系一次函数性质，求出其最大利润.

根据题意先计算出每件A、B商品的进价，而后列出对应的不等关系，便可确定购进方案.根据题意构建有关利润的一元一次函数，借助一元一次函数性质进行分析.设每件A商品的进价为a元，则每件B商品的进价为（a-5）元，易得800a=400a-5，解得a=10，则每件A、B商品的进价分别给为10元，5元.设购进A商品为x件，购进B商品为（100-x）件，即，800≤10x+5（100-x）≤850，解得60≤x≤70，因为x只能为整数，则x的值为60到70之间的整数，共11个，即，共有11种购进方案.由销售A商品的件数为x件，则销售B商品的件数为（100-x），由单价、件数以及利润之间的关系可得总利润Q=mx+（6-m）（100-x）=（2m-6）x+600-100m，因m>0，则当0

4 三角函数应用题解题技巧

初中数学中学习的主要是锐角三角函数，主要有正弦、余弦、正切、余切[2].解答三角函数应用题的技巧为：认真审题、读图，明确要求解的问题.同时运用所学几何知识尝试着构建直角三角形，必要情况下做出辅助线向锐角三角函数靠拢.求解参数时应注意不同三角函数中线段之间的关系，不能搞错.实践中，为提高学习者解答三角函数应用题熟练程度，积累相关经验，可在课堂上与学习者一起分析如下.

例题 在一次课外活动中，小明测量小山AF的高度，如图1，山底有一长为60m的斜坡CE，通过测量斜坡CE的坡角为30°，小明从点E沿斜坡走到斜坡的中点D处，在D处测得山顶A的仰角为53°，坡顶C和小山的距离BC=100m，求小山AF的高度，结果精确到0.1m.（参考数据：tan53°≈1.33，3≈1.73）

审题后在明确要求解问题的基础上进行逆向推理，寻找要求解的参数.而后根据经验作出辅助线辅助分析，寻找角度以及角度、线段之间的关系，认真计算不难得出结果.

根据题意，过点C作CG⊥FE于点G，延长GC和AD交于点H，过点H作HP⊥AB于点P，过点D作DQ⊥CG于点Q，如图所示，则四边形PBQC和四边形BFGC为矩形，DQ∥GE.根据题意∠CEG=∠CDQ=30°，∠HDQ=∠AHP=53°，则CG=12CE=30m，则CQ=QG=15m，DQ=3CQ=153m，HQ=DQtan53°=1.33×153≈34.51m，PH=BC=100m，AP=PHtan53°=100×1.33=133m，则小山的高AF=AP+HQ+QG=133+34.51+15≈182.5m.

5 二次函數类应用题解题技巧

二次函数类应用题是初中数学的难点题型，解答该题的技巧为：在认真审题的基础上，根据题干描述以及经验构建二次函数关系.同时，因自变量范围影响二次函数的取值，需要正确确定自变量范围.教学实践中为使学习者掌握上述解题技巧并在解题中灵活应用，应注重做好经典例题讲解，并组织学习者开展专题训练活动.课堂上可为学习者展示如下习题，对其进行训练：

例题 一土特产品的生产成本为每盒60元，为了解市场情况，准备先试销一段时间，试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于40%.销售量y（万盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图2所示，当销售价为多少元时，销售利润达到最大，最大利润为多少万元？

解答该题需要在充分理解题意的基础上，结合图象，联系所学一次函数知识确定售价和销售量之间的关系.同时，根据成本、利润、销售量，构建二次函数，运用二次函数性质便可求出最大利润.

由图采用待定系数法不难求出销售单价和销售量之间的函数关系，并根据题干描述找到自变量的取值范围，而后根据利润、销售价、销售量之间的关系构建二次函数，运用二次函数性质求出最大利润.将图中的点（70，50）、（63，57）两点代入得到y=-x+120，而60≤x≤60（1+40%），即，60≤x≤84，则其利润Q=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900（60≤x≤84），二次函数的对称轴为x=90，其开口向下，取值范围在其左侧，Q随着x的增大而增大，则当x=84时获得的利润最大，最大利润为864万元.

6 结语

初中数学应用题类型较多，实践中既要为学习者认真讲解技巧，又要展示技巧的应用.同时，鼓励学习者做好听课总结，及时弥补学习中的不足，尤其结合专题训练活动，鼓励其将学习到的技巧应用到实践中，积累丰富的应用题解题经验，提高应用题解题水平.

参考文献：

[1]钱进陆.初中数学应用题解题策略探究[J].数理化解题研究，2019（26）：6-7.

[2]邓玉贞.浅谈初中数学应用题的教学策略及解题技巧[J].试题与研究，2019（24）：30.

[3]潘元淑.初中数学应用题解题技巧分析[J].中学课程辅导（教师通讯），2021（08）：86-87.