探求多元等式条件的最值有妙招

孙国涛

【摘要】用基本不等式解決某些含有多元等式条件的最大值或最小值问题是一种常见手段，但有些题目的结构复杂，条件隐晦，会出现相对比较难的题目，需要有扎实的基本功和一定的解题技巧，那么这些能力的来源是接受规范的解题方法指导和有一定量的典型题目的训练，本文从介绍常用解题方法的角度，以题例说方法，希望给读者朋友有一点启发.

【关键词】多元等式;解题方法;数学解题

1 配凑等式

例1 已知a，b为实数，且a>0，b>-1，若a+b=1，求a2+2a+b2b+1的最小值.

分析 因为a2+2a+b2b+1=a+2a+b2-1+1b+1=a+2a+b-1+1b+1=2a+1b+1

=12（2a+1b+1）[a+（b+1）]=12[2+1+2（b+1）a+ab+1]≥12（3+22）.当且仅当a=2（b+1），即a=4-22，b=22-3时取等号，故最小值为12（3+22）.

点评 分析题目发现，结论式子中的分母是a和b+1，利用好条件化去分母才可以解题，所以由a+b=1配得a+（b+1）=2是必由之路.

2 合理拼凑

例2 若x>0，y>0且x+y=1，求x+12+y+12的最大值.

分析 因为x>0，y>0且x+y=1，

则x+12+y+12=（x+12）·1+（y+12）·1≤x+12+12+y+12+12=12（x+y+3）=2 当且仅当x+12=1且y+12=1且x+y=1即x=y=12时，等号成立，所以最大值是2.

点评 在给出的条件式或结论式中，先进行化简处理是常规的解题手段，其中包括化简复杂的分式、根式等，本题中利用基本不等式化去根号就是设法化简的一种思路.

3 适当变形

例3 已知正数x，y满足1x+1y=1，求4xx-1+9yy-1的最小值.

分析 由1x+1y=1，得x+y=xy，则4xx-1+9yy-1=4（x-1）+4x-1+9（y-1）+9y-1

=13+4x-1+9y-1=13+9x+4y-13xy-x-y+1=9x+4y=（9x+4y）（1x+1y）=13+4yx+9xy

≥13+236=25.当且仅当3x=2y且1x+1y=1，即x=53，y=52时，等号成立，所以最小值为25.

点评 本题先把给出的条件进行变形，然后再将结论进行连续变形转化，达到了解题目的，可以说是不断变形的结果.

4 连续放缩

例4 已知a>0，b>0，c>2，且a+b=2，求acb+cab-c2+5c-2的最小值.

分析 由于a+b=2，则ab+1ab-12=ab+14（a+b）2ab-12=ab+14（ab+2+ba）-12

=54ab+14ba≥52;又c>2，则c-2>0于是acb+cab-c2+5c-2 =c（ab+1ab-12）

+5c-2≥52c+5c-2=5（c-22+1c-2）+5≥10+5.当且仅当b=5a且c=2+2时等号成立，所以原式的最小值为10+5.

点评 由于本题的结论式比较复杂，解题中使用了两次基本不等式进行放缩，如果连续放缩时取等号的条件一致或互相之间没有影响，是完全可行的.

5 整体构造

例5 若实数a、b满足ab-4a-b+1=0（a>1），求（a+1）·（b+2）的最小值.

分析 由a>1，得a-1>0，由ab-4a-b+1=0得，ba-1-4a-1=3，b-4=3a-1，b+2=6a-3a-1，于是（a+1）·（b+2）=（6a-3）（a+1）a-1=

6（a-1）2+15（a-1）+6a-1=6（a-1）+6a-1+15≥6×2+15=27.当且仅当6（a-1）=

6a-1，即a=2时，（a+1）·（b+2）取最小值为27.

点评 本题中没有直接告诉相关的分式，通过挖掘已知条件，整体思考，对条件式和结论式子进行重新整理，构造出可用均值不等式求解式子，化解了问题的难点.

6 及时换元

例6 已知正实数a，b满足1（2a+b）b+2（2b+a）a=1，求ab的最大值.

分析 ab=ab（1（2a+b）b+2（2b+a）a）=a2a+b+2b2b+a，令2a+b=x，2b+a=y，则a=2x-y3，b=2y-x3，所以ab=2x-y3x·2（2y-x）3y=2-13（yx+2xy）≤2-23yx·2xy=2-223.当且仅当y=2x时，ab有最大值为2-223.

点评 本题中的条件式中的分母结构比较复杂，通过对分母换元后使式子简单明朗，出现了可使用基本不等式的规范模型，从而后面的解题手到功成了.

以上通过针对具体题目，讲述了用基本不等式解决含有多元等式条件的最大值或最小值问题处理方法，当然还有许多其他的实用方法，这里只是展示几种常见的，抛砖引玉，可能有失偏颇或以偏概全，不到之处，请读者朋友批评指正.