数列单调性在竞赛中的应用

庄涛

【摘要】数列是一种特殊的函数，对应函数的单调性，递增数列、递减数列分别属于递增函数、递减函数.在数学竞赛中数列不等式的证明及求最值等问题中常运用数列的单调性.

【关键词】数列;单调性;竞赛;应用

下面从几个方面举例说明数列单调性在解数学竞赛题中的应用.

1判断数列的单调性

例1数列{an}中，已知a1=3，an=a 2n-12（an-1-1）（n≥2）.

（1）判断数列{an}的单调性，并证明你的结论;

（2）略.（第28届希望杯高二2试）

解数列{an}是单调递减数列.

因为an-2=a2n-12（an-1-1）-2

=a2n-1-4an-1+42（an-1-1）=（an-1-2）22（an-1-1）.

若an-1>1，则

an-2>0（显然an≠2）.

因为a1=3>1，

所以由归纳法原理知an>2.

又an+1-an=a2n2（an-1）-an

=a2n-2a2n+2an2（an-1）=an（2-an）2（an-1）<0，

所以an+1

故数列{an}是单调递减数列.

注数列单调性定义：若一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，这样的数列就叫做递增数列，即对n∈N*，若总有an+1>an，则数列{an}是单调递增数列.

若一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，这样的数列就叫做递减数列，即对n∈N*，若总有an+1

应用定义是判断数列单调性的基本方法.

2求项数

例2已知数列{an}：a1=7，an+1an=an+2，n=1，2，3，….求满足an>42018的最小正整数n.（2009年全国高中联赛）

解由an+1an=an+2，得

an+1=a2n+2an，

所以an+1+1=（an+1）2，

所以an+1=（an-1+1）2，

an-1+1=（an-2+1）2，

an-2+1=（an-3+1）2，

…，

a2+1=（a1+1）2=82，

即an+1=（a1+1）2n-1=82n-1=23×2n-1，

故an=23×2n-1-1.

显然数列{an}单调递增.

由于a11=23×211-1-1=23072-1<24036=42018，

a12=23×212-1-1=26144-1>24036=42018，

故满足题目条件的正整数n的最小值是12.

3求数列的项

例3设两个严格递增的正整数数列{an}，{bn}满足a10=b10<2017，对任意正整数n，有an+2=an+1+an，bn+1=2bn，则a1+b1的所有可能值为.（2017年高中联赛）

解由题设可知

a1，a2，b1均为正整数，且a1

由于2017>b10=29b1=512b1，

故b1∈{1，2，3}，

由an+2=an+1+an，

得a10=a9+a8=a8+a7+a8

=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5

=8a5+5a4=13a4+8a3

=21a3+13a2=34a2+21a1，

因此21a1≡a10=b10=512b1≡2b1（mod34），

而13×21=34×8+1，

故a1≡13×21a1≡13×2b1=26b1（mod34），①

另一方面，因為数列{an}严格单调递增，

所以a1

55a1<34a2+21a1=512b1，

故a1<512b155.②

当b1=1时，①②分别化为a1≡26（mod34），a1<51255无解.

当b1=2时，①②分别化为a1≡52（mod34），a1<102455，得到唯一的正整数a1=18，此时a1+b1=20.

当b1=3时，①②分别化为a1≡78（mod34），a1<153655，得到唯一的正整数a1=10，

此时a1+b1=13.

综上，得a1+b1的所有可能值为13，20.

4求参数的值

例4使不等式1n+1+1n+2+…+12n+1

解设f（n）=1n+1+1n+2+…+12n+1.

由f（n+1）-f（n）

=1（n+1）+1+1（n+1）+2+…+12（n+1）+1-

1n+1+1n+2+…+12n+1

=12（n+1）+12（n+1）+1-1n+1

=12n+3-12n+2=-1（2n+2）（2n+3）<0，

所以f（n+1）

故f（n）单调递减.

所以f（n）的最大值为

f（1）=12+13=56，

所以56

解得a>56+200713=200816.

因为a∈N*，

所以最小正整数a的值为2009.

5证明命题

例5证明：方程2x3+5x-2=0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正数数列{an}，使得25=ra1+ra2+ra3+….（2010年全国联赛）

证明设f（x）=2x3+5x-2，

则f′（x）=6x2+5>0，

所以f（x）是严格单调递增的.

又f（0）=-2<0，

f12=2×123+5×12-2=34>0，

所以方程2x3+5x-2=0有唯一实数根

r∈0，12，

于是2r3+5r-2=0，

即5r=2（1-r3），

所以25=r1-r3=r+r4+r7+…，

故数列an=3n-2（n=1，2，3，…）是满足题设要求的数列.

若存在两个不同的正整数数列a1

去掉上面等式两边相同的项，有

rs1+rs2+rs3+…=rt1+rt2+rt3+…，

这里s1

所有的si与tj都是不同的.

不妨设s1=t1，则

rs1

所以1

≤r+r2+r3+…=r1-r

<121-12=1，矛盾.

故满足题设的数列是唯一的.