寻幽入微，巧比大小

祁君华

【摘要】比较大小的试题多见于试卷中的中档题或压轴题，除了常用的“中间值法”与“比较法”，本文再归纳总结几个实用的、好用的方法.

【关键词】比大小;方法归纳总结

本文归纳总结几个实用的、好用的方法，助各位莘莘学子攻坚克难，决胜高考.

1特值法

例1若实数a，b，c满足log2a=log3b=4c，则（）

（A）a

（C）c

分析此类题目，直接求证，一般难度颇大，但若能适当取值，再代入计算，则能化难为易，瞬间突破.

解取a=2，代入得b=3，c=0，

所以c

例2设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（）

（A）2x<3y<5z.（B）5z<2x<3y.

（C）3y<5z<2x.（D）3y<2x<5z.（2017年全国卷Ⅰ）

解取x=1，则

y=log32，z=log52，

所以2x=2，3y=3log32=log38<2，

5z=5log52=log532>2，

因此3y<2x<5z，选（D）.

2图象法

例3同例1.

分析要比较三个相等的函数值对应的自变量的大小，只需比较三个函数的图象与直线y=m（m>0）的三个交点的横坐标的大小关系即可.此法直观明了，简便易行.

图1

解在同一直角坐标系中作出y=log2x，y=log3x与y=4x的图象（如图1）.显然，直线y=m（m>0）与三个函数图象的交点的横坐标从左到右依次为c，a，b，所以c

例4已知a<5，且ae5=5ea，b<4，且be4=4eb，c<3，且ce3=3ec，则（）

（A）c

（C）a

解将已知的三个等式变形为

eaa=e55，ebb=e44，ecc=e33.

设f（x）=exx，

则原条件等价于“f（a）=f（5）且a<5，f（b）=f（4），且b<4，f（c）=f（3），且c<3”.作出f（x）的简图（如图2），由图易得0

故选（D）.

图2

3同构法

例5设a=30.5，b=40.4，c=50.3，则（）

（A）a

（C）c

分析乍看之下，三个幂的结构迵然不同（底数不同，指数也不同），不易直接比较.但若细心观察，认真比较，根据分数指数幂的定义，也能将这三个数的结构统一起来.

解a=3510=1035=10243，

b=4410=10256，c=5310=10125，

显然c

例6设a=ln43，b=732，c=12ln158，d=0.42.1，则（）

（A）c>a.（B）b>c.（C）a>b.（D）a>d.

解对于（A），

由于c=12ln158=ln158，

则a=ln43=ln169，

因为158>169，

所以c>a.

对于（B），b=732<14，14=12lne，

而c=12ln22564，

因為22564>e，

所以c>b.

同理a>14，

所以a>b.

又因为d=0.42.1<0.42=0.16，

所以a>d.

故选（A）（C）（D）.

4放缩法

例7已知55<84，134<85，设a=log53，b=log85，c=log138，则（）

（A）a

（C）b

分析根据已知条件，易得b<45，c>45，即b

解a-b=log53-log85=log53-1log58

=log53·log58-1log58

所以a

又b

例8已知a=e0.02，b=1.012，c=ln2.02，则（）

（A）b>c.（B）c>a.（C）a>b.（D）a

分析除了“基本不等式”，常用来放缩的不等式还有ex≥x+1与lnx≤x-1.

解显然a>1，b>1，而c<1.

又lna=0.02，lnb=2ln1.01，

由lnx≤x-1（当且仅当x=1时取等号）可得

ln1.01<0.01，

所以lnb

故选（A）（C）.

5构造法

例9设a=2022ln2020，b=2021ln2021，c=2020ln2022，则（）

（A）a>c>b.（B）c>b>a.

（C）b>a>c.（D）a>b>c.

分析仔细观察，灵活变形、转化，可得“a与c的大小关系”等价于“ln20202020与ln20222022的大小关系”.构造函数f（x）=lnxx，利用f（x）的单调性易得f（2020）>f（2022），即a>c.同理可得a与b、b与c的关小关系.（下转第21页）