蓦然回首，新定义题却在灯火阑珊处

夏田豪　闻黎明

【摘 要】 本文从浙教版教材九年级上册第三章的一道课后习题出发，深度挖掘教材中的基本图形，通过一整节课的探究，先一图多题，再一题多解、一题多变，最后从基本图形的结构特征中引出新定义，再从性质、判定、应用，结合之前的一题多变引出一道完整的学生既熟悉又害怕的新定义题.让学生学习了这堂课后对新定义题感到不再害怕，并且初步找到解决的办法.最后给学生总结解新定义题的初步方法：新定义题有套路，先从定义引性质，再用互逆得判定，最后拓展用性质.

【关键词】 一题一课;新定义题;解题教学;问题驱动

1 重拾故题，引出基本图形

笔者选取浙教版教材九年级上册第三章第5节习题A组第2题作为本节课的“一题一课”的出发点，原题为已知：如图1，AB为⊙O的直径，弦AC和半径OP平行，求证：CP=PB.

考虑到学生对之前学习过的知识点比较零散，很少能够去独立思考数学知识点之间的联系，大部分同学只是被动地去解题，很少去关注几何题的基本结构和变式，因此在本节课的一开始，笔者选择将原题中的一个条件和结论隐去，让学生去自主编题，不断的通过对基本题中的条件的变化，由浅入深，让学生在经历基础、提高与挑战的过程，体会数学知识之间的联系，并最终形成数学思维，提高学生的基本数学核心素养.

已知：如图1，AB为⊙O的直径，OP是半径，AC为弦，请你添加一个条件，求证：.

学生很快编出不同的题目，如

添法1：添加条件AC∥OP，求证：CP=PB;

添法2：添加条件∠CAO=∠POB，求证：CB=2PB;

添法3：添加条件CP=PB，求证：AC∥OP;

……

教師选择学生的第一个命题并进行重点探究，通过学生讲解以及教师归纳和补充，呈现了以下解法：

解法1 利用垂径定理，连接BC，

因为AB为直径，所以∠ACB=90°.因为OP∥AC，所以OP⊥BC，所以PC=PB.

解法2 利用平行弦，延长PO，交圆O于点Q，

因为AC∥PQ，所以AQ=PC.因为∠AOQ=∠POB，所以AQ=PB，所以PC=PB.

解法3 利用“平行+等腰”，连接CO，

因为AC∥OP，所以∠POB=∠CAO，∠POC=∠ACO.

因为AO=CO，所以∠CAO=∠ACO，所以∠POC=∠POB，所以PC=PB.

解法4 利用圆周角、圆心角关系，连接CO，

因为AC∥OP，所以∠POB=∠CAO.

因为∠CAO=12∠COB，所以∠POB=12∠COB，所以PB=12BC，所以PC=PB.

以上这些解决圆相关问题的基本方法是本节课复习的重点，通过不同解法的讲解，开拓了学生的思路.最后，笔者及时总结，我们发现很多几何问题是存在互逆关系的，如添法1和添法3，就是把结论变换成条件，可以得到一个新的问题，这是我们研究数学的一个好方法.更主要的是我们在这样一图多题的变化中，让学生抓住图形的特征，对这个基本图形有一个更深刻的认知.

2 问题驱动，拓展基本图形

很多时候，平常的复习课最后都变成了习题课，学生解了一题又一题，虽然有时候也会出现一些好题，但是题目之间的联系却很难被揭示.“一课一题”是指在初中数学课堂中一种教学形式.在课前通过对一道题或一个材料的深入研究，在40分钟课堂内，通过教师引导、学生自导、生生互导，挖掘其内在的学习线索与数学本质，基于学情，科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，从而完成一节课的教学任务，这是一种以学生素养为导向的学习过程[1].为此笔者以图1为基本图形进行变式教学.

【变式1】

问题1 如图2，AB为⊙O的直径，AC为弦，PC=PB，连接BP并延长交AC延长线于点D，你能发现图中新的相等的线段吗？

学生尝试发现多组数量关系，如AD=AB、DP=PB等.由于前面已经详细证明，在这里采用让学生口头讲述，完成数量关系的证明，进一步锻炼提出问题和解决问题能力.其实从这个变式的解答过程来看除了得出AD=AB外，还可以得出OP∥AC这个结论的，因此又可以变出以下问题：

问题2 如图2，AB为⊙O的直径，AC为弦，连接BP并交AC延长线于点D，若AB=AD，你能发现图中线段的特殊位置关系吗？

通过刚刚的研究，发现很多几何问题是存在互逆关系的，同一个几何图形，把结论变为条件，又可以得到一个新的问题，帮助我们更深入地研究几何问题.本例引导学生从互逆角度去研究图形，并渗透研究几何的基本思路.

【变式2】

问题3 已知：如图3，AB为⊙O的直径，AC为弦，OP∥AC，延长OP，任取一点D，连接DC，DB，猜想DC，DB会满足怎样的数量关系？

学生很容易发现DC=DB，很快地解决此问题，笔者及时点评.同时继续追问D点在OP延长线上运动过程中，DC=DB的这个结论是否具有一般性？

【变式3】

问题4 已知：如图4，AB为⊙O的直径，OP∥AC，延长OP，在OP上任取一点D，连接DC，DB，再连接AD交⊙O于点E，若∠CAD=12∠BAD，猜想在D点变化过程，是否仍然存在不变的线段.

由于此问题中的结论DE=AO比较难发现，所以考虑先让学生猜想，然后教师运用几何画板，通过度量图中的线段，展示点在D点变化过程是否存在哪些线段保持不变.我们知道，在动点背景下，研究图形中的不变量是学生学习的一个难点，通过几何画板的展示，让学生经历观察、计算、猜测、验证，引起学生的数学学习兴趣.通过几何画板中线段数值的变化，让学生直观感受到线段的变化，并最终发现了线段DE始终等于半径.最后引导学生：当证明两条线段相等的时候，我们可以通过证明两个三角形全等，或者构造等腰三角形来进行思考.最终学生完成解答：

连接EO，设∠CAD=x，因为∠CAD=12∠BAD，所以∠BAD=2x.

因为AC∥OP，所以∠CAD=∠ADO=x.因为AO=OE，所以∠BAD=∠AEO=2x.

因为∠AEO=∠EOD+∠EDO，所以∠EOD=x，所以∠EOD=∠EDO=x.

所以DE=OE，所以DE=AO.

问题5 在问题4的基础上，增加条件：若AB=10，CD=61，求AE的长.

学生易发现连接BE，

因为AB为直径，所以∠AEB=90°.在Rt△DEB中，根据DE=AO=5，DB=DC=61

得BE=DB2-DE2=6.在Rt△AEB中，根据BE=6，AB=10，

得AE=AB2-BE2=8.

3 蓦然回首，破解新定义题

在课堂教学中，教师要留出一定的时间和空间让学生进行反思和总结，积累本节课的学习经验，引导学生观察一下黑板上原题中的这个基本图形.看看图中的那些线有什么基本特征，我们发现有一条直径（边说边用其他颜色的粉笔描画AB），还有一条和直径有公共端点的弦（边说边用其他颜色的粉笔描画AC），还有一条和弦平行的半径（边说边用其他颜色的粉笔描画OP）.引导同学思考，这三条描画出来的线条构成了一个横写的字母“F”，并最终和学生一起给这个基本图形中线段的构成特征给出一个新的定义：一个圆中，有公共端点的直径与弦构成的图形内，平行于这条弦的半径称为这条弦的“F”形半径，同步给出板书，并描述新定义.然后和学生说，老师也以此新定义为基本素材，编制了一道新定义题，请同学来解答一下.

一个圆中，有公共端点的直径与弦构成的图形内，平行于这条弦的半径称为这条弦的“F”形半径;

（1）如图5，AB为⊙O直径，OP是弦AC的“F”形半径，求证：BP=CP;

（2）如图6，△ABD中，AB=AD，以AB为直径作⊙O交AD于C，交BD于P，

求证：OP是弦AC的“F”形半径;

（3）如图7，AB为⊙O直径，OP是弦AC的“F”形半径，在OP延长线上取点D，使∠CAD=12∠BAD，AD交BC于点E，若AB=10，CD=61，求AE.

同学们对于新定义题是非常头疼的，但不少同学马上发现了这个新定义题就是我们这节课的研究的内容.新定义题中的第一问就是我们的原题，主要是从新定义中定义的本身出发可以推出什么样的性质，即从OP是弦AC的“F”形半径，可以得到BP=CP;新定义题中的第二问就是我们变式1中的问题2，主要是将新定义题条件和结论互逆，研究新定义的判定，证明到线平行就可以说明OP是弦AC的“F”形半径;新定义题中的第三问就是我们变式2中的问题3、变式3中的问题4和问题5，主要是拓展运用新定义的性质.正当学生还在感叹之余，教师适时营造气氛，引用电影《夏洛特烦恼》中的经典桥段，就此情此景，即兴赋诗一首：“蓦然回首，新定义题却在灯火阑珊处！”最后，和学生一起进行课堂总结，这节课我们有什么收获？在学生总结的基础上，归纳了解决新定义题的基本套路，编成了一个顺口溜：新定义题有套路，先从定义引性质，再用互逆得判定，最后拓展用性质.

4 意犹未尽，再析新定义题

4.1 摸清新定义题套路，克服新定义题的解题恐惧

所谓“新定义问题”，是给出一个学生没有接触过的事物的新定义，现学现用，去解决问题.在平常的教学中，常常发现很多学生对新定义题有恐惧心理，害怕阅读、读不懂题、提取不出有用的信息等困难.授人以鱼，不如授人以渔，新定义题也不例外.学生之所以恐惧新定义题，主要原因是不清楚新定义题的解题套路.中考新定义题基本是以“先从定义引性质，再用互逆得判定，最后拓展用性质”的命题思路来开展的，最好以探究的方式来学习.我国的孔子早在两千多年前就指出：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”兴趣是最好的老师，直接影响学生对事物的认知与行为趋向性，因此有必要在课上和学生一起通过基本图形或基本知识点切入，逐步变式深入拓展，并最终破解新定义题，以此让学生了解此类题型的基本套路，消解学生对这类问题的恐惧.

4.2 变式教材基本习题，把握新定义题的解题关键

新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生学习能力、实践能力及创新精神，很好地体现了新课标的理念.我们平常教学常常是做了一道又一道，被动地解题.但无论题目以何种方式呈现，其本质都是源于教材的核心知识.解决这类问题，关键在于紧扣定义，联系已学知识和数学思想方法.但是由于初三学业压力大，很少有机会经历数学教材基本习题探究过程.让学生经历归纳和学习新知的过程，而从教材基本习题归纳出新定义，这是符合学生的基本学习规律的，这和目前的教学改革所倡导的理念是相契合的.新定义题教学中，一定要把思维过程暴露给学生，让学生能够体会整个题目的探索过程，就像学生自己经历一样[2].不仅仅让学生知道怎么想，更要让学生知道为什么这么想.从过去课堂上的被动地解题到现在教师和学生一起参与新定义题的命制和成型，可以极大地提高学生的解题能力.

4.3 归类整理新定义题，形成新定义题的解题思维

从数学材料中抽取出本质内容或从不同数学材料中找出共同点并加以归纳，即数学抽象概括能力[3].因此对不同类型的新定义题的归类整理，可以训练学生的抽象概括能力.对于新定义题的教学，教师应该引导学生去归类整理新定义题，如本节课是属于图形类新定义题，还可以进一步研究代数类新定义题、方程类新定义题、函数类新定义题等，帮助学生理顺相应的解题思路.通过对于不同类型的新定义题的分析比较，提炼基本的解题思想，形成解新定义题的解题思路，做到“解一题，学会一类题”，从掌握基本解法，发展到掌握解题策略，最终形成新定义题解题思维.这也是笔者后续研究的方向，可以尝试设计其他不同类型的课例，让学生全方位的形成新定义题的解题思维.

4.4 精心预设“一题一课”，助力新定义题的解题教学

新定义题其实是一个完整数学概念的学习过程，具有良好的结构，包含着较多的解题方法，涉及多个核心知识点，同时也蕴含了多种重要的数学思想.新定义题的教学适合采用“一题一课”模式，一道好的新定义题可作为学生课堂探究活动的起点，给学生一个“做数学”的机会.教师应该了解所教学生的思维特点和学习方式，在课堂上要根据学生的数学现实水平，预估课堂中问题设计的难易程度是否得当，根据课堂上随时可能会生成的资源，进行教学过程的预设和追问.关注课堂上学生的差异，用不同的思维层次的问题引导不同程度的学生参与课堂，提高新定义题解题教学的针对性和有效性.精心预设“一题一课”，不仅让学生获得基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，还能让学生在“做数学”过程中体会数学知识之间的联系，构建良好的数学知识体系，发展数学基本核心素养.

参考文献

[1]顾以成.探究学习模式下的“一题一课”[J].中学数学教学，2021（06）：38-41.

[2]申海東.对“新定义题型”的若干思考——以“北京中考试题”为例[J].中学数学教学参考，2020（09）：66-69.

[3]章薇薇，浦叙德.例谈基于“生本”理念的“一题一课”专题复习[J].中学数学教学参考，2021（20）：40-42.

作者简介 夏田豪（1993—），男，浙江余姚人，硕士，中学一级教师;主要研究中学数学教育.

闻黎明（1968—），男，浙江宁波人，中学高级教师;主要研究中学数学教育;发表论文多篇.