感悟图形本质 提升思维能力

【摘 要】 对几何试题的研究关键在于对图形的分析，从一个条件作为突破口，挖掘基本图形，自然联想寻找解题思路，体会学生朴素的想法;尝试对图形不同视角的理解，有效整合图形信息，以最大效益感受试题的价值，从而提升学生的思维能力，进而发展解决问题的关键能力.

【关键词】 基本图形;自然联想;旋转

对中考数学试题的深度研究有助于学生对基础知识和基本技能的落实，同时在分析问题和解决问题的过程中有利于唤醒基本活动经验，多角度对问题的认识和理解，从而加强对数学的理解，进一步形成解决问题的策略，感受数学思想带来的乐趣.2022年新疆中考试题第15题以正方形和旋转作为命题背景，图形熟悉且简洁，源于学生课堂所学，易于理解.而不同解法的发现是基于学生的认知和已有经验，让学生探究不同的解法有利于多角度认识问题，自我剖析解决问题方法的优劣，进一步反思改进，从而更好地理解数学的本质，这也是解题教学带给我们的提升.

（2022新疆）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，则BQ=.

1 关注基本图形的思考

从复杂图形中寻找到基本图形是解决几何问题的突破口.本题我们猜想点Q为FE的中点，如何想到？根据∠FBE=90°，∠FDE=90°，显然可得F，B，E，D四点共圆，那么圆心是哪个点？结合图形，圆心只能是点Q，又如何证明呢？同时，根据已知条件AF=CE，∠FAQ=45°，∠QCE=135°，∠AQF=∠CQE，可以想到“SSA”模型，如图2.对于图2的处理一般是采用“割补”两种思路，将△AFQ进行分割，得到△QCE的形状，如圖3.或将△QCE进行增补，得到△AFQ的形状，如图4.这两种思路都是固定其中一个三角形，改变另一个三角形，从而得到两个全等三角形.基于对这个模型的再思考，也可以同时将△QCE进行增补，将△AFQ进行分割，得到两个直角三角形，也可以得到两个全等三角形，如图5.

根据上述三个思路，我们很容易得到点Q为线段FE的中点，下面的求法中省去点Q为中点的证明.

以下是求BQ长度的三种方法.

方法一 如图3，过点F作FG∥BC，交AC于点G.设FG=AF=a，GQ=QC=2[KF）][]2[SX）]b，所以BC=a+b，FB=b.因为PC∥FB，所以PC[]FB=CE[]EB.所以PC=ab[]2a+b.故DP=2a2+2ab+b2[]2a+b.因为AQ·DP=（2[KF）]a+2[KF）][]2[SX）]b）·2a2+2ab+b2[]2a+b=32[KF）]，所以2a2+2ab+b2=6.在Rt△FBE中，∠FBE=90°，FE2=FB2+BE2=4a2+4ab+2b2.故BQ=1[]2FE=3[KF）].

评析 此解法中我们设FG=AF=a，GQ=QC=2[KF）][]2[SX）]b，巧设变量可以得到BC=a+b，FB=b，这样便于计算AQ和DP的长度，过程中看似复杂，实则得到2a2+2ab+b2=6这个整体，而FE2=4a2+4ab+2b2就让结果变得简单，这种朴素且灵巧的解法值得学生们学习，更重要的是渗透了“设而不求”的思想.

方法二 如图4，过点E作EG∥AB，交AC的延长线于点G.因为DP∥AB，所以∠DPE=∠AFQ.因为∠FAQ=∠DEP=45°，所以△FAQ∽△PED.所以AQ[]ED=FQ[]PD.即AQ·DP=FQ·ED=BQ·2[KF）]BQ，所以BQ=3[KF）].

评析 在此解法中根据△FAQ≌△EGQ，偶然发现△EGQ∽△PED，这样必然得到△FAQ∽△PED，或者直接发现△FAQ∽△PED.因此AQ·DP与BQ的关系显而易见，结果易得.

方法三 如图5，分别过点E，F作EH⊥AC，FG⊥AC，垂足分别为点H，G.设FG=AG=CH=HE=x，GQ=HQ=y，所以AC=2y.故BC=2[KF）]y.因为PC∥FB，所以PC[]FB=CE[]EB.所以PC=2[KF）]x（y-x）[]x+y[SX）].故DP=2[KF）]（x2+y2）[]x+y[SX）].因为AQ·DP=（x+y）·2[KF）]（x2+y2）[]x+y[SX）]=2（x2+y2）=32[KF）]，所以BQ=FQ=x2+y2=3.

评析 巧设变量，整体代换，思路与方法一致.

解题过程中要关注基本图形的自然联想和思考，基本活动经验的积累，基本思想方法的提炼，在教学中要引导学生需要不断去尝试、体验和实践，将熟悉问题的解题经验转化成未知问题的解决策略，提高学生解决问题的能力，发展核心素养.

2 关注已知条件的联想

罗增儒教授曾说过：当大家分析每一道题目的思路时，都是针对解题难点来讲解的，应该明确指出，该题到底一共有几个难点、分别在什么地方、各用什么方法来突破，方法的实质是什么、从中可以获得什么解题启示或教学启示.作为本题而言，条件AQ·DP=32是试题的难点之一，在什么情境下会出现两者的乘积？一般而言，三角形相似得比例容易出现，因此要寻找含有AQ和DP的两个三角形相似来突破难点.本质是寻找两个三角形相似，此刻需要关注图形的直观，容易发现方法二中的△FAQ∽△PED;也不难发现△BAQ∽△PFD，如图6方法四.

方法四 如图6，易得点Q是FE的中点，所以∠QFB=∠QBF=∠FPD.

因为∠BAQ=∠PFD=45°，所以△BAQ∽△PFD.

所以AQ[]FD=BQ[]PD.即AQ·DP=FD·BQ.

因为AQ·DP=32，所以FD·BQ=2[]2[SX）]FE·1[]2FE=32.

故FE=23，则BQ=3.

评析：此法的关键在于对AQ·DP的分析，一次相似解决问题，解题过程通俗易懂.

从基本图形的角度思考知道试题的条件∠FDE=∠FBE=90°，所以F，B，E，D四点在以FE为直径的圆上，并可以断定点Q为圆心.在前面分析中，没有继续进行是因为点Q是圆心的说理要更难一些，而“SSA”对于学生应该更熟悉.如果建立圆的背景，我们也容易发现很多相似三角形，此时不妨设其中一个角，试图算出AQ和DP，利用方法五问题容易求解，而方法一中“算”的想法和方法五是一致的.

方法五 如图7，连接DQ，以FE为直径构造圆.过点Q作QG⊥AB，垂足为G.

因为∠FDE=∠FBE=90°，所以F，B，E，D四点在以FE为直径的圆上.

因为DQ=BQ，所以B，D关于直径对称.因为BD垂直平分AC因为B，D关于AC对称，BQ=QD，所以点Q为圆心.设∠BFQ=α，FG=x，则∠DPQ=α，

所以FQ=DQ=x[]cosα，GQ=xtanα.

故DP=x[]sinαcosα，AQ=2xtanα.

因为AQ·DP=32[KF）]，所以x[]sinαcosα·2xtanα=2[KF）]（x[]cosα）2=32.

因此BQ=FQ=x[]cosα=3.

3 关注试题结论的拓展

对于试题的分析一定要讲清楚怎么想，为什么这样想两个问题.前面的解法中我们已经从多个角度分析问题，以及为什么这样想的问题.正如傅种孙先生所言：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，这是在解题教学中需要一以贯之的理念.同时，就本题而言，在正方形的背景下，对于正方形的元素“边长”的探究也是值得思考的，因此，正方形的边长的求解是我们解题的延续.

思考1 如圖1，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，则AB的取值范围是？

思路1 因为BQ=3[KF）]，所以FE=23[KF）].当F点与A点重合时，DF最小，故FE最小，因此边长最大;当F点与B点重合时，DF最大，故FE最大，因此边长最小.所以3[KF）]≤AB<6[KF）].

思路2 设AD=x，AF=y，故BF=x-y，BE=x+y.

在Rt△FBE中，∠FBE=90°，FE2=BF2+EB2，所以（23[KF）]）2=（x+y）2+（x-y）2.

因此x2+y2=6.因为0思考2 如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ.若AQ·DP=32[KF）]，∠BFE=α，则AB的长度为？

思路 根据方法五可得AB=AG+GB=xtanα+x，而FQcosα=x=3[KF）]cosα，因此AB=3[KF）]cosαtanα+3cosα=3（sinα+cosα）.根据三角函数相关知识也可以求得思考1中AB的取值范围.

4 关注试题教学的价值

4.1 注重分解与重组

一个复杂的图形往往是由很多个基本图形组合而成，在本题中体现的尤为明显.教师要引导学生挖掘基本图形，借助直观想象素养转化题目中的信息，如本题中点Q的发现，体现对基本模型的识别和验证.关注条件的自然联想，如本题中AQ·DP的思考，引导相似三角形的寻找，本题中对角为直角的四边形的处理，让四点共圆助力求解.因此，注重条件的分解与重组，有助于降低思考难度;加强对图形的分解与重组，有利于识别模型，而模型源于直观，成于推理.我们应着眼于提高学生分析问题和解决问题的能力，重视对目标的分析，对隐藏条件的挖掘，对图形特征的观察，明确解题思路，构建模型，也要注重对问题的再挖掘，如边长的求解，让解题过程变得更完整.

4.2 注重反思和提炼

在解题教学中，要鼓励学生不断地进行最近联想，也要鼓励学生不断培养反思的意识.如本题假设点Q为中点后如何转换AQ·DP=32[KF）]，借助于相似和直接计算两种方式突破已知条件.如何能够发现点Q是中点？对于△AFQ和△QCE的观察，教师要给学生足够时间去唤醒已有的模型，放手让学生自主探究，适时帮助学生明确探究方向，寻找探究路径，渗透“割补”的数学方法.关注结论倒回去思考，由AQ·DP联想AQ[]FD=BQ[]PD和AQ[]ED=FQ[]PD，进一步倒逼两种类型的三角形相似，在这个过程中，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果[1].

以数学试题为素材，探究解法为载体，挖掘图形本质，培养数学思维，提升反思能力，力求达到做一题，会一类，通一片，让学生从解题中理解数学，热爱数学，感悟数学.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：6.

作者简介

王强（1987—），男，江苏南京人，硕士，中学高级教师;伊犁州优秀援疆教师，伊宁市优秀教师，南京市优秀青年教师，南京市秦淮区数学学科带头人;荣获江苏省初中数学优质课比赛一等奖.

基金项目 江苏省教育科学研究“十四五”规划重点课题“数学评优课磨课活动的典型机制与文化特色研究”（C-b/2021/01/22）.