新定义题的解题策略：逻辑加直观，动静卡边界

【摘 要】 文章以2022年北京市中考数学卷压轴题为例，分析新定义题的价值和试题结构.通过对该压轴题的剖析和解答，总结出解答新定义题的一般解题策略：逻辑推理突出几何直观，动静结合卡准边界位置.

【关键词】 新定义题;解题策略;几何直观;边界位置

新定义题是中考试卷中的一类特殊题型，一般是指在某种情境下借助新符号定义新运算新法则，或给某种数学变换关系定义新概念等.要求考生现场学习，解答新问题.考查考生的阅读、理解和迁移能力.

而北京市中考数学卷从2012年到2022年的11道新定义题则不同于通常意义下的新定义题，试题的立意、结构、综合性和试题功能等均有很大不同.这类新定义题不仅考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等重要的数学学科能力，还考查包括学习能力、探究能力等更普适性、对学生未来的学习都非常重要的能力[1].

下面以2022年北京市中考数学卷压轴题第28题为例，谈谈该类试题的一般解题策略.

1 新定义题及其结构

2022年北京市中考数学卷延续了用新定义题压轴的试卷结构，试题如下：

在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N.

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a<0）平移a个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b<0）平移b个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”.

（1）如图1，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上.若点P（-2，0），点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q;

②连接PQ，交线段ON于点T.求证：NT=12OM;

（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t（12

可以看出，这类新定义题属于代数与几何高度综合题，试题包括题干（新概念的定义部分）和问题（理解和运用部分）.试题的命制均在平面直角坐标系中进行，问题部分一般包括起始问题、台阶问题和综合问题，具体结构如下表1所示.

2 来自学生的反馈

新定义题备受命题者的青睐，学生对新定义题的态度如何呢？6月18日，笔者对我校毕业班学生进行了“关于新定义题我是这么看”的问卷调查.

第1题：你对新定义题（第28题）的态度（ ）.

A.非常喜欢 B.喜欢 C.谈不到喜欢也不讨厌D.不喜欢E.非常讨厌

调查数据（图2）表明，31%以上的学生表示不喜欢，甚至近10%的学生明确表示非常讨厌这类题型，有超过79%的学生对新定义题没有好感.第6道题的调查数据佐证了这个结果.

第6题：对于北京中考卷中的新定义题型，你认为（ ）.

A.继续保留B.无所谓C.应该废弃

调查发现，近30%的学生认为应该废弃新定义题，如图3.进一步调查，支持“应该废弃”的前三条理由是：给我造成很大的心理压力;浪费时间，也得不了几分;不知道考啥知识.而这些理由的背后是学生们的一个共识——新定义题“一题一法，题无定法”.

因此，研究新定义题的一般解题策略有非常强的现实意义——想学生之所急，研学生之所需.

3 一般解题策略

美国数学家M·克莱因在《古今数学思想（第四册）》中论述：“数学的直观，就是对概念、证明的直接把握.”德国数学家希尔伯特在《直观几何》一书中认为：“图形可以帮助我们发现、描述所研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解、记忆得到的结构.”

以上强调几何直观的学术观点可以指导我们学习数学研究数学，也可以指导我们解答新定义问题：逻辑推理突出几何直观，动静结合卡准边界位置.

3.1 用笔读题三遍

解答新定义题的第一关是数学阅读，这也是一道心理关.在有限的时间内和紧张的氛围下要求考生阅读三四百字的试题，“不仅包括对数学文字语言、符号语言、图表语言的理解、记忆、认知等过程，还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程，（数学阅读）是区别于一般阅读的较为复杂的智力活动.”[2]其难度可见一斑.

常言道，书读百遍其义自见.因此，我们建议学生平时养成“用笔读题三遍”的习惯.

第一遍，通读题干，初步了解题目涉及的几何元素和大致的几何变换过程.比如，点M，N，点P平移得到P′，点P′关于点N对称得到点Q，等.

第二遍，研读新定义，用笔圈点关键信息，弄清几何元素如何变换，怎样建立什么关系，新概念的含义和记号等.比如，点P平移得P′，点P在哪儿，和日常所学的平移含义相同吗？平移的方向和大小受谁制约？点P′关于点N对称得到点Q，点N在哪儿？谁和谁是“对应点”？此题“对应点”有什么具体含义？等等.需要考生反复阅读，这个过程最好画画草图，如图4，建立几何直观，使新定义可视化.

第三遍，跳读题干，厘清几何变换关系，明确几何变换过程，整体上明晰新定义的几何模型.比如，给定点P，根据点M平移得点P′，点P′关于给定的点N对称得点Q，称点Q为点P的“对应点”.此时，可以提炼出新定义的关系图（如图5）.

3.2 试做起始问题

起始问题是对新概念的具体辨析和直接应用，引导考生把抽象的新概念和变换关系具体操作一遍，促进对新定义的理解，建立几何直观模型.

问题（1）以如图和坐标的形式给出点M（1，1）和P（-2，0），至于点N的坐标是不是（2，2），所给图形虽然有网格衬托，但并没有说明点N在格点（当然，格点也需要定义）上，所以，考生可以认为N（2，2），這样更方便画出P′（-1，1），Q（5，3），完成起始问题（1）①，如图6.

事实上，起始问题的命制目的应该不是描点画图，而是有尺规作图的味道，当然，此题无需尺规作图.（近几年的北京中考卷都有一道尺规作图题（第20题），而今年换成了证明三角形内角和定理（第20题）.命题人是不是想借此弥补尺规作图呢？）

根据题意，PP′∥OM，且PP′=OM，P′，N，Q三点共线，且P′N=NQ.题中蕴含平行四边形PP′MO和线段P′Q的中点N.这为解答台阶问题做好了准备.

3.3 解答台阶问题

台阶问题是对起始问题的横向拓展或纵向拓展，也是为探究最后的综合问题做好铺垫，起到登堂入室的台阶作用.因此，解答台阶问题不能为了解题而解答，而应该是在解答的过程中思考并提炼一些方法和结论，总结基本活动经验，进而在综合问题中迁移运用.

台阶问题（1）②在起始问题①的基础上继续构图和探讨，如图7，根据题意又构造出△PP′Q及其一条中位线NT.

如何证明PP′∥OM呢？可以根据平移的性质，几何直观得到PP′∥OM;更严谨的推理则过点P′，M作x轴的垂线，构造分别以PP′和OM为斜边、以1为直角边长度的等腰直角三角形，由两三角形全等得同位角∠P′PO=∠MOx，判定PP′∥OM，且PP′=OM，进而得PP′∥ON.

由对称变换知N是线段P′Q的中点，根据平行线分线段成比例的基本事实知T是线段PQ的中点，即线段NT是△PP′Q的一条中位线，所以NT=12PP′=12OM.

根据对台阶问题的解答，我们更加清楚了点P只要不在直线OM上，“对应点”模型中N，T分别是线段P′Q，PQ的中点，包括NT=12OM等都没有变化.还有，我们进一步明确了寻找“对应点”Q的过程，M是主动点，P′是从动点，而“对应点”Q又是受点N影响的从动点.

整个解答过程，分析的基本方法是按照题意有序构造几何关系，探究的基本依据是平移变换、对称变换和平行线分线段成比例.我们带着这些基本活动经验解答综合问题.

3.4 攻克综合问题

综合问题的命制通常是对台阶问题的一般化，让一些元素动起来（点M在⊙O上动，点N在线段OM上动，点P的位置也不确定了），增加了很多“不确定”因素.

此时，需要考生调整一下疲劳的身心，伸伸懒腰，做个深呼吸，静下心来再次集中精力对综合问题“用笔读题三遍”，明确哪些几何元素或关系变化了，哪些没有变化，能否和台阶问题关联上，等等.好在综合问题一般都是要求直接写出答案，需要严谨的数学推理，但不需要规范的步骤书写，此时，动静结合卡边界就至关重要.

第一步，明确“不确定”，分析特殊情况，试着画画图.

为方便画图，减少不必要的不确定因素的干扰，我们不妨把没有限制的元素取特殊但又不失一般性的位置，比如点P（-3，0），此时可以考虑点N的两个特殊位置.

因为ON=t（12

第二步，动静结合，卡准边界，确定最值位置.

我们已经通过有序的推理和构造把“对应点”模型以及相关关系直观化了.连接PQ交半径OM于点S，当点M在⊙O上运动时，从动点P′和Q分别在⊙P，⊙R上运动，在动态分析中卡准点Q与点P和点R共线时的边界状态，此时PQ取得最值（最值对应的位置往往都是唯一的），所以（PQ）max-（PQ）min=PR+RQ-（PR-RQ）=2RQ.或者也可以考虑△PRQ三边的关系和边界位置得到不等式PR-RQ≤PQ≤PR+RQ，即（PQ）max-（PQ）min=2RQ.

第三步，利用好台阶问题，借步作答，准确运算.

如何求⊙R（实线圆）的半径呢？如果考生掌握梯形中位线的知识，求解非常快捷：RQ+PP′=2ON，RQ=2t-1.不用梯形中位线，两次利用三角形中位线推导也不复杂：在△QPP′中，NS=12PP′=12，则OS=ON-NS=t-12.在△PRQ中，RQ=2OS=2t-1，所以（PQ）max-（PQ）min=2RQ=4t-2.

至此，针对于考试算是解答完毕.但对于该题还有很多问题可以继续思考，包括作为解答题如何严谨、规范的书写解题步骤，除了上述PP′∥OM的严格证明，还有点P′和点Q的轨迹为什么是圆？点P的位置一般化时对⊙R有何影響？又为什么对试题的结果没有影响？还有什么解答思路？该题蕴含的思想方法能否一般化，等等.

4 结束语

东北师大史宁中教授多次强调：在大多数情况下，数学的结果是通过观察最先猜出来的，而不是“证”出来的，数学学科中，对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观.新颁发的《义务教育数学课程标准（2022年版）》认为“几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径”，要养成“运用图表描述和分析问题的意识与习惯”.《高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》则要求学生能够在各种情境（熟悉的、关联的、综合的）通过几何直观提出问题、分析问题、解决问题，并能直观表达，体会几何直观的作用和意义.可见，几何直观是学好数学的关键能力，当然也是解答数学问题（尤其是新定义问题）的首要意识.

最后，我们用流程图的形式直观表达解答新定义问题的一般策略，如图9.

解答新定义题的总策略是紧扣新概念，联系老知识，运用常规方法，在逻辑推理下突出几何直观（逻辑加直观），在可变几何元素的动态变化中寻找边界位置（动静卡边界）.

具体操作：（1）用笔读题三遍，画出新定义（几何元素间的变化过程和建立的关系）;

（2）比葫芦画瓢，回答起始问题.回顾新定义，直观化理解新概念;

（3）重视台阶问题，总结新定义背景下的思想方法和新结论，搭建脚手架;

（4）现学现卖，动静结合，逐层拆解分析，运用新方法新结论攻克综合问题.

我们常说“无圆不几何”，对于北京市中考卷新定义题则有“无圆不新定义”的解题经验，最后的综合问题一般落脚点都是圆或圆弧.这也是上述调查中最后一题学生回答使用频率最高的词语.

参考文献

[1]顿继安.问题变式视角下数学新定义型综合题的设问路径——以2020年北京市中高考数学题为例[J].基础教育课程，2020（08）：101-107.

[2]任子朝，陈昂，赵轩.加强数学阅读能力考查，展现逻辑思维功底[J].数学通报，2018（06）：8-13.

[3]王亮亮.重现命制过程剖析思路变化——以2012年北京市压轴题为例[J].数学通报，2014（03）：48-51.

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[5]中华人民共和国教育部.高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介

史嘉（1980—），男，安徽亳州人，中学高级教师;获第七届全国高中数学青年教师优秀课展示活动一等奖，主持并完成省级教育科学规划课题两项;发表文章多篇.