立足基础 关注本质 指向素养

钱德春　黄飞

【摘 要】 初中数学学业水平考试试题是初中数学教学的风向标.基于对试题“内容基础性与试题创新性、问题探究性与指向本真性、结构关联性与思维引导性、思路开放性与方法多样性”等特点的分析，提出了“立足基础、关注本质，源于教材、灵动生成，培养能力、发展素养”的几何教学建议.

【关键词】 中考数学;试题特点;立足基础;关注本质;发展素养

作为教学评价的有效载体，初中数学学业水平考试具有“以评促教、引导教学”的作用，是初中数学教学的风向标.2022年泰州数学卷第25题（以下简称“泰州卷第25题”）命制了一道集计算、作图与证明于一体的几何问题，试题形式新颖独特、顺畅自然，解题方法开放多样、聚焦本质，考查了数学阅读与理解能力、几何直观与想象能力、操作探究与实践能力、逻辑推理与思维能力、方法迁移与反思能力.本文基于考试数据及问题、试题思路与特点的分析，谈谈对初中几何“立足基础、关注本质、指向素养”的教学启示与建议.

1 真题及简解呈现

1.1 真题呈现

已知：△ABC中，D为BC边上的一点.

（1）如图1-①，过点D作DE∥AB交AC边于点E.若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长;

（2）在图1-②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A;（保留作图痕迹，不要求写作法）

（3）如图1-③，点F在AC边上，连接BF，DF.若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD·AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.

1.2 試题简解

这里展示命题者提供的其中一种方法：

（1）解：因为DE∥AB，所以∠CED=∠CAB，又因为∠C=∠C，所以△CED∽△CAB，所以CDCB=DEAB，即615=DE5，所以DE=2;

（2）作法（记为

方法1）：如图2，过点D作DE∥AB交AC于点E，以D为圆心，DE长为半径画弧交AC边于点F，点F即为所求;

（3）证明：如图3，作DE∥AB交AC于点E，作FH⊥BC，垂足为H，所以S△FBC=12BC·FH，又因为S△FBC=12CD·AB，所以CD·AB=BC·FH，所以CDCB=FHAB，由（1）知CDCB=DEAB，所以FH=DE，因为DE=DF，所以FH=FD，而FD为⊙F的半径，所以直线BC与⊙F相切.

2 数据与原因分析

2.1 数据分析

该题是位于试卷倒数第二题的几何压轴题，满分为12分，实测均分为4.8，难度系数为0.4，其中第（1），（2），（3）问得分率分别为0.6，0.4，0.2.学生普遍反映第（2），（3）两问有一定的难度.

2.2 原因分析

第（2）问的尺规作图问题方法较多，是两种基本尺规作图的组合.不少学生感到棘手的原因大致有3个方面：一是思路缺失，不能有效建立所要作的角与已知角之间的关联;二是没有联系意识，难以发现小题之间的关联，从而发挥第（1）问中“DE∥AB”的铺垫作用;三是机械与套路现象严重，思维固化，没有真正理解尺规作图“确定满足条件的线与线交点”的本质.

第（3）问考查圆的切线的判定.用定义判定BC与以F为圆心、DF长为半径的圆相切，只要证明直线BC到圆心F的距离等于圆的半径DF即可，这是圆的切线最基本、最本质的判定方法.学生存在4方面的思维障碍：一是受“证切线连半径证垂直”的思维定势影响，纠结于如何证明DF⊥BC;二是不能将条件S△FBC=12CD·AB与第（1）问的“DE∥AB”有机结合得到FD=FH;三是得到S△FBC=12BC·DF后“毫无道理”地直接得到DF⊥BC;四是得到FD=FH后不知所措.

3 解题思路分析

这里重点分析第（2），（3）两问的解题思路.第（2）问的尺规作图要明晰探究的路径，把握作图本质;第（3）问的几何证明要关联条件与目标，掌握分析方法.

3.1 尺规作图要明晰探究的路径，把握作图本质

第（2）问的尺规作图问题的探究路径是：根据题设与所求结论画出“效果图”，探索连接条件与结论的“示意图”，逐步建立具有操作程序的“施工图”.在AC边上确定“点F”的位置的本质是画出某线（直线或圆弧）与直线AC的交点.

问题可从两方面思考：一方面，假设点F已经作出，再执果索因，通过操作探究与逻辑推理找到作图方法;另一方面，需要整体与联系的观点.通常情况下，解题者有这样的经验：同一试题的几个问题之间应该相互联系，而不是孤立的.第（1）问的作用不只是“求DE的长”，若在

图4图1-①中画出DE∥AB后立即发现：∠DEC=∠A，而∠DFA=∠A，从而有∠DFA=∠DEC，即∠DFE=∠DEF，此时DF=DE（如图4），只要以D为圆心，DE长为半径画圆弧即可.显然联想到DE∥AB是作图的关键.

这种作图思路最自然、最简捷，但方法不是唯一的，从不同的角度可以得到不同的方法，这将在下文中的试题特点分析中加以阐述.

3.2 几何证明要关联条件与目标，掌握分析方法

数学解题通常的策略是：一是弄清问题——要解决什么问题、条件是什么;二是建立联系——条件与结论之间的联系、当前问题与已有知识与经验间的联系;三是问题表征——用不同的方式将条件、结论进行表征;四是回到定义——将问题用最基本、最源头的方法思考.

第（3）问的思路分析与证明也遵循波利亚的“解题四步骤”，从条件与结论两个方面寻找思路.从条件看，由“△FBC的面积等于12CD·AB”联想到三角形面积公式，过点F作FH⊥BC于H有S△FBC=12BC·FH，从而CD·AB=BC·FH，所以ABBC=FHCD①;从结论看，要证明直线BC与以FD为半径的⊙F相切，同样考虑作FH⊥BC，问题解决需要FH=FD.联系问题（1）中“DE∥AB”的条件，过点D作DE∥AB得到ABBC=DECD②.比较①与②有FH=DE，而DE=DF，故FH=FD获证，从而使问题顺利解决，这里运用了圆的切线证明中最基本的方法——定义法.

4 试题特点分析

从上述分析看出：试题体现了内容基础性与试题创新性、问题探究性与指向本真性、结构关联性与思维引导性、思路开放性与方法多样性等特点.

4.1 内容基础性与试题创新性

试题基础性体现在“源于教材基础性习题”与“立足基础知识与基本方法”两个方面.

一是试题来源于教材基础性习题.以第（2）问为例：试题源自苏科版七年级上册“第12章证明”第156页的习题7.原题为：

已知：如图5，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F.求证：∠F+∠FEC=2∠A.

在保持∠BAC=∠ABC（即AC=BC）不变的前提下，将点A、B移至如图6-①所示的位置，上述结论同样成立，即∠F+∠FEC=2∠BAC;删除线段AC、BC，延长FE、BA相交于点G，图形其他部分不变，即∠EAB=∠FBG（如图6-②），该图形与“泰州卷第25题”的图1-②基本一致;若将段AE由已知改为求作，即点E位置给定，在BG上求作点A，使∠EAB=∠FBG（如图6-③），便得到了第（2）问的尺规作图问题.

二是试题立足基础知识与基本方法.《义务教育数学课程标准（2022年版）》对尺规作图提出明确要求：“经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力.”尺规作图“应了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法”[1].尽管问题（2）的方法较多，但主要考查了课程标准要求的下列几种基本作图中的两种组合：“以已知点为圆心、已知长为半径画弧”“作一个角等于已知角”“作一条线段的垂直平分线”“过一点作已知直线的垂线”“过直线外一点作这条直线的平行线”.

试题创新性体现在试题图形特征、结论要求与解题方法3个方面.从图形特征上看，“△ABC及BC边上一点D”是一条明线、“DE∥AB”是一条“由明到暗”的主线，“一明一暗”两条线贯穿于试题始终;从结论要求上看，试题通过3个小问，将几何计算、几何作图与几何证明有机结合;从解题方法上看，第（2）问无论何种方法都包含两种作图，但“作一个角等于已知角”不可或缺;第（3）问要证圆的切线必须有FD=FH，该结论的得出需将三角形面积表达式与线段成比例有机结合.试题无论是图形特点、结论要求，还是解题方法，既在预料之外又在情理之中，体现了创新性.

4.2 问题探究性与指向本真性

“数學为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式.”[1]设计具有探究性的几何试题，以引导学生“通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形”[1]是数学命题的重要任务.“泰州卷第25题”具有较强的探究性.第（2）问中，如何在AC边上确定点F，使∠DFA=∠A？假设点F已经确定，连接DF.由于所作∠DFA的顶点F未知，而点D及∠A已经确定，除了受第（1）问“DE∥AB”的启发得到思路外，还可尝试将角转化.如图7-①，分别延长BA，DF到G，Q，有∠GAF=QFA，作∠MAF=∠GAF，有AM∥DQ，即只要作DQ∥AM即可;若BA，DF的延长线相交于点P（如图7-②），则PA=PF，点P在AF的垂直平分线上，由于点F待定，可作DM∥AF，将∠PAF、∠PFA分别“搬”到∠PMD、∠PDM处，作∠FDM=∠AMD或DM的垂直平分线即可;考虑到∠BAC=∠AFD=∠FDC+∠C，将∠C“搬”至∠BAM处，则有∠MAC=∠FDC（如图7-③），从而只要作∠FDC=∠MAC即可……这些探究与尝试有些可能难以奏效，但始终充满了探究的味道.

尽管试题探究味道浓厚，但最终指向本真、关注数学本质.以第（3）问为例：只要用定义法证明直线BC与以FD为半径的⊙F相切，无需复杂的推理、运算过程，正如波利亚所说的“回到定义”，这种方法反映了数学本质，体现了问题指向的本真性.4.3 结构关联性与思维引导性

结构关联的试题有利于引导学生的思维方向.该题依据学生的认知规律，设计了既相互独立又相互关联、具有梯度的3个小问，“DE∥AB”是联系这3小问的纽带.思维引导性体现在：第（1）问考查相似三角形的性质，更有为后面两问作铺垫的作用，以此引领学生用联系的观念分析、解决问题.在思维受阻时，回过头来反思“DE∥AB”的多重作用，会有峰回路转、柳暗花明的效果.问题解决经历了先由合情推理发现结论、再用逻辑推理证明结论的过程，形成了一个完整的思维链.

4.4 思路开放性与方法多样性

利用结构关联性引导解题者思维的命题方式，并非限制学生思维的发散性与创新性.试题的思路是开放的，方法也是多样的，为学生演绎更多精彩提供了可能.

对于第（2）问的尺规作图问题，除了受问题（1）中“DE∥AB”的启发得到方法1外，还可以从不同的角度分析，有不同的解决方案，这为学生解决问题提供了选择性，让不同的学生有不同的收获.这里介绍几种典型方法.

方法2 如图8-①，以B为圆心、BA长为半径画圆弧交CA的延长线于点G，连接BG，过点D作BG的平行线交AC于点F，则点F即为所求作.

方法3 如图8-②，过点D作DM∥AC交AB于点M，作DM的垂直平分线交BA的延长线于点P，连接DP交AC于点F，或作∠PDM=∠AMD，射线PD交AC于点F，则点F即为所求作.

方法4 如图8-③，设G在BA的延长线上，作射线AM交BC于点M，使∠MAC=∠GAC，过点D作DF∥AM交AC于点F，则点F即为所求作.

方法5 如图9-①，作射线AM交BC于点M，使∠BAM=∠C，以DC为一边作∠CDF=∠MAC，射线DF交AC于点F，则点F即为所求作.

方法6 如图9-②，作射线CM交BA的延长线于点M，使∠MCA=∠BCA，以DC为一边作∠CDF=∠AMC，射线DF交AC于点F，则点F即为所求作.

这些方法可归纳为2种类型：一类是“平行线”+“等角”;另一类是“两次等角”.其中，方法1，2，3是先作平行线，再作等角，方法1是用画弧由同圆半径相等得到等角，方法2是作一个角等于已知角得等角，方法3是作垂直平分线得等角;方法2，4是先作等角，再作平行线;方法5，6是作两次等角.

對于问题（3），除了用定义证明外，还可直接证明FD⊥BC进而说明直线BC与以F为圆心、FD为半径的圆相切.因为FH⊥BC，在证得FD=FH后，只要证明点H与D重合.假设点H与D不重合，由于FH⊥BC，根据“点到直线垂线段最短”有FD>FH，这与FD=FH矛盾，说明点H与D重合，所以FD⊥BC.这种方法本质上是反证法.

开放的思路与多样的方法兼顾了不同学生的思维特质，为学生提供了解决问题的更多可能性.学生可以通过操作探究寻找解题策略进而解决问题，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念.

5 教学启示与建议

考试数据与原因、试题特点与解题思路分析给我们的启示是：几何教学要立足基础、关注本质，源于教材、灵动生成，培养能力、发展素养.

5.1 立足基础，关注本质

“立足基础、关注本质”包含三层意思：一是强化“四基”教学.几何教学要重视基本概念形成过程和内涵与外延、基本定理和图形与概念之间的关系、积累分析与解决问题以及几何直观与推理的活动经验;二是“回到定义”思考.“数学是一门特别强调严谨的学科，而概念是思维的起点”[3].许多数学问题的解决无需特殊技巧与技能，而是从基本概念与原理出发，追溯问题本源，追寻数学本质;三是强化“通性通法”.解题教学要重视多数人可以掌握的一般规律与策略.适合的才是最好的，学生最容易想到的方法才是好方法，所谓的“技巧、特法”是掌握基本方法后的顿悟.

如“泰州卷第25题”第（3）问中圆的切线判定就运用了最基本的“定义法”，这就要求学生理解圆的切线“与圆只有一个公共点”这个概念的内涵及不同表征——到圆心距离等于圆的半径、经过圆的半径外端且垂直于这条半径.前者是定义的数学本质，后者是概念的引伸结论.教学中，只有强化了概念这个“纲”，学生才能“纲举目张”.

5.2 源于教材，灵动生成

教材作为学生学习的载体，经过编写者的精心设计与教学实践的检验，充分体现课程标准的理念、目标与要求，关照了学生的认知心理、基础与结构.所谓“源于教材、灵动生成”即数学教学既要尊重教材，从教材出发，发挥各栏目和例习题的作用，同时又不能拘泥于教材，要灵动地对教材问题进行变式、拓展、延伸，挖掘教材内容的教学价值.

如“泰州卷第25题”3个小问中，第（1）问直接源自教材，第（2）问为教材图形的变化，第（3）问系教材图形与问题的深度变式.教师要有“用教材教而不是教教材”的意识，让几何教学从教材走向远方.

5.3 培养能力，发展素养

“培养能力、发展素养”是数学教学的终极目标.数学教学要着力培养学生的数学阅读与理解能力、几何直观与想象能力、操作探究与实践能力、逻辑推理与思维能力、方法迁移与反思能力，从而发展学生的数学核心素养.

如“泰州卷第25题”第（1）问中的“DE∥AB”既是第（1）问中“求DE长度”的条件，也为第（2）问的尺规作图与第（3）问的切线证明提供了方法引导，需要通过文字与图形阅读，认识并理解这种关系;“∠DFA=∠A”既是第（2）问的作图目标，也是第（3）问的证明条件，学生要由“∠DFA=∠A”的图形得到其对顶角相等、邻补角相等，进而得出作图与证明方法，需要几何直观与想象能力;第（2）问要画出符合条件的草图，通过分析寻找作图方法，需要逻辑推理与思维能力、操作探究与实践能力;第（2）（3）问如果将“DE∥AB”的图形及结论迁移过来会更加简捷，考查了方法迁移与反思能力.教学中要有意识在具体问题的解决过程中，发展学生的相关数学能力，形成学生的核心素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：64，71

[2]章飞，俞梦飞，顾继玲.初中数学教科书中概念的呈现方式及一致性研究[J].数学教育学报，2021，30（05）：21-27.

作者简介

钱德春（1963—），男，江苏泰州人，中学高级教师;江苏省中学数学专业委员会理事，省初中数学名师共同体导师，泰州学院特聘教授，中国人民大学《复印报刊资料·初中数学教与学》编委，《义务教育数学课程标准（2022年版）》教学要求编写组成员;主要从事初中数学教学、命题与教师专业发展等研究.

黄飞（1973—），男，江苏靖江人，中学高级教师，副校长;主要研究初中数学教育和教学.