基于条件联想,挖掘中考试题的教学价值

【摘 要】 中考试题有它的评价价值和导向价值，更需要关注它的教学价值.我们不单单满足于完成解答，而是基于条件联想，发掘更多可用的基本图形，寻找更多的关联，串联起不同的知识应用，让中考试题成为我们教学的精品资源，达到中考试题的价值最大化.本文以2022年安徽省中考第14题填空压轴题为例，来谈谈试题的价值挖掘.

【关键词】 条件联想;基本图形;教学价值

1 题目呈现

（2022年安徽第14题）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：

（1）∠FDG=°;

（2）若DE=1，DF=22，则MN=.

2 价值挖掘

本题是正方形背景下，结合动点作等腰直角三角形，经历从一般到特殊的探究过程，是较常规的命题考查方式.本题蕴含丰富的几何基本图形，可作为教学资源使用，引导学生基于题中给出的条件进行联想[1]，收获不同的解题方法，串联起不同模型，不同知识的应用，从而将试题的价值最大化.

2.1 基于等腰直角三角形，考查一线三直角

第一问，由题中等腰直角△BEF联想一线三直角，如图1，可证△ABE≌△GEF，所以EG=AB，AE=GF，又四边形ABCD是正方形，所以AD=AB，所以AD=EG，从而得到AE=DG，所以DG=GF，得△GDF为等腰Rt△，所以∠FDG=45°.

本题是点E在AD上任意一点时都成立的一般情况下的结论，在第二问若DE=1，DF=22时，可得DG=GF=AE=2，所以正方形边长为3.第一小题不需添加辅助线，基本图形是现实存在，所以难度不大，但一线三直角的“K型图”是中考考查的高频考点，可以作为评价学生学习效果的不错选择.下面主要对第二小题展开价值挖掘.

2.2 基于平行条件，考查“A型”“X型”相似

思路1 由四边形ABCD是正方形及GF⊥AD，所以题中有现成的横纵两组平行线，可以构造“A型”或“X型”相似.

简解1 如图2，延长BC，GF交于点H，则FH=1，CH=DG=2，由CD∥GH，所以△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF，所以MDFG=EDEG=13，所以MD=13FG=23，NCFH=BCBH=35，所以NC=35FH=35，所以MN=3-23-35=2615.

评析 方法1充分利用了DC∥GH的条件，利用两组“A型”相似分别求出DM和CN，进而求得MN.类似的可以利用图3，过点F作FH∥BC，交CD于点H，构造△BCN与△FHN的“X型”相似求解CN;亦可如图4，延长FE与BA的延长线交于点H，构造“X型”相似求解AH，再利用△FMN与△FHB的“A型”相似求解MN;或是如图5进行构造求解，此处不再赘述.像这样对平行条件充分的进行挖掘，是很实用的教学素材.

2.3 基于45°角，考查正方形背景下的半角模型

思路2 由条件中△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠EBF=45°，联想到正方形中的半角模型，故可连结EN，利用半角结论，结合Rt△EDN中勾股定理即可求解.

简解2 如图6，连结EN，由正方形背景下的半角模型结论可知，EN=AE+CN，令CN=a，则EN=a+2，DN=3-a，在Rt△EDN中由勾股定理得EN2=ED2+ND2，所以（a+2）2=12+（3-a）2，解得a=35.DM的求解同方法1，所以MN=3-23-35=2615.

评析 此法是对正方形中45°半角模型的自然思考，对于填空题形式可以借助结论进行应用，是练习半角模型应用意识和能力的不错素材.其中半角结论的证明，如图7，将△BCN绕点B旋转至△BAN′，构造△N′EB≌△NEB即可，这里不再细述.

2.4 基于面积思考，考查“宽高模型”

思路3 题中当DE=1，DF=22时，图形都是确定的，思路2连结EN后，MN恰为△ENF求解面积时“宽高模型”中的“高”，从而得到面积视角下的求解方法.

简解3 如图6，连结EN，由AB=3，AE=2，所以BE2=13，所以得S△BEF=12BE2=132.又由平行线分对应线段成比例可知，NFBF=DGAG=25，所以S△ENF=25S△BEF=135，所以S△ENF=12MN·EG=135，所以MN=2615.

评析 由简解2连结EN得到启发，只需求得△ENF的面积，即可利用“宽高模型”求解MN.“宽高模型”简介，△ENF的面积可以用“12铅锤线段MN×水平距离EG”，铅锤线段即为“高”，水平距离即为“宽”，本质就是看成以MN为公共底边的△ENM和△FNM的面积之和，这在许多背景下的面积问题中都有广泛应用.

简解4 如图8，过点E作EH∥CD交BF于点H，同简解3知S△BEF=12BE2=132.在△BEF中由“宽高模型”得S△BEF=12EH·AG=132，所以EH=135，

图8再由△MNF∽△EHF，对应底的比等于对应高的比，所以MNEH=GDGE，所以MN=23×135=2615.

评析 此法也是基于△BEF的面积确定，利用“宽高模型”确定公共底EH，同时又有“A型”相似的出现，这里的线段EH串联起了三角形面积与平行得相似的不同知识，起到桥梁纽带的作用，关联起不同条件和知识，引导学生不同方法的发现也体现了知识的生长过程.

2.5 基于公共邊角，考查相似基本图形

思考4 能否不添加辅助线直接求解？分析题中条件，图中有现成的公共边角相似的基本图形，又线段DF，MF，DM的长可求，所以尝试直接利用相似求解.

简解5 如图1，DF=22，EF=13，所以由DM∥GF得MF=23EF=2313，又由（1）知∠NDF=∠NFM=45°，又∠DNF=∠FNM为公共角，所以△NDF∽△NFM，所以MNFN=FNDN=FMDF，所以MN·FNFN·DN=FM2DF2，即MNDN=FM2DF2=1318，所以MNDM=135，所以MN=135DM=2615.

評析 此法不需添加辅助线，△NDF与△NFM公共边角相似也是相似的常见基本图形，但直接求解MN还是有一定难度的，这里有公共边角相似常用的“MN·DN=FN2”外，还有“MNDN=FM2DF2”这个结论相对比较少用，其实由面积还可推导得到“DF·NF=DN·FM”等结论，可以作为探究的素材，也可以成为解题的新突破口.

2.6 基于函数解析，考查形数转化

思考5 基于题中的正方形背景和等腰直角三角形的条件，联想规则图形下，建立平面直角坐标系，借助函数解析式，通过解析法求解也是一条有效途径.

简解6 如图9，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（2，3），F（5，1），所以可得EF的解析式为：y=-23x+133，OF的解析式为：y=15x，所以M（3，73），

评析 笛卡尔在《指导思维的法则》中提出了“通用数学”的思路，运用“几何问题代数化，代数问题坐标化”的思想解题，实现形数转化.初中几何中遇正方形、矩形、菱形和特殊三角形如等腰直角三角形等图形时，建立坐标系，应用解析法也是破解几何问题的一种有效路径.本题是应用函数解析的思考方向，实现形数转化的好题.

3 一点思考

一道中考试题，尤其是试卷中的关键题、压轴题，往往都凝聚着命题人的心血，是考查知识应用、评价学习成果、反映素养发展的好题.让中考试题在教学中充分发挥它的价值是很有价值的研究方向.本文以一道中考填空的压轴题为例，基于不同条件的联想，串联起了“一线三等角”全等、平行线、相似的几种基本图形“A型”“X型”和“公共边角型”相似、“半角模型”“宽高模型”以及“函数解析化”等不同的知识与方法.整个方法的探究过程也就是知识的生长和应用过程，是充分挖掘试题教学应用价值的过程，当然试题的变式拓展延伸还有待后续进一步研究.

参考文献

[1]姜黄飞.挖掘试题中各条件的关联变式话命题[J].数学通讯（上半月），2020（01）：52-55.

作者简介

姜黄飞（1975—），男，浙江海盐人，中学高级教师;嘉兴市名师，浙江省张宗余名师工作室学科带头人，参加市中考命题和承担期末统考命题;主要从事数学教育和试题研究;发表论文多篇.