基于数学实验促进数学抽象素养发展的教学路径探讨

杨国宝

[摘  要] 研究者基于教学实践与理论研究，以数学实验为载体，提出发展学生抽象思维的教学路径，以使学生在手脑并用中体验抽象思维的价值，参与抽象的过程，使学生的数学抽象素养真正得到发展。

[关键词] 数学实验;数学抽象;核心素养;小学数学

数学抽象包括两个方面：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象[1]。数学实验以探索数学知识为目的，集行为操作与动脑思考于一体，是发展学生抽象素养的有效途径。本文论述了以数学实验为载体发展学生抽象思维的基本路径，期望能够为广大教育同人提供借鉴和思考。

[?]一、立足学科素养，感悟数学抽象的价值

数学抽象能力是数学学科素养的重要组成部分。数学实验能使学生不断积累抽象思维的思考经验，进而促进学生数学学科素养的生成。

1. 在概念建构中，感悟数学抽象的价值

数学概念是数学知识“大厦”的基石，是学生进一步学习数学其他知识的基础和前提。然而，由于数学概念直指知识的本质，因此数学概念不可避免地具有较强的抽象性，通过实验操作和数学思考使学生亲身经历数学概念产生的完整过程，进而体验从直观到抽象的過程，感悟数学抽象的价值和意义。

比如，讲到“分数的初步认识”时，教师创设了喜羊羊和美羊羊分蛋糕的场景：1个蛋糕要分给喜羊羊和美羊羊，怎样分最公平？学生回答：平均分最公平，每个人半个。教师追问：“半个”在数学中怎么表示呢？从而引出了二分之一的概念。在此基础上，教师引导学生用1个圆纸片代替蛋糕展开实验操作，通过分一分，涂一涂，表示出二分之一。学生先对折，再涂色。教师问道：“为什么要对折？”学生回答：“对折后左右两边完全重合，两边一样大，这才是平均分成2份。”除了表示1个蛋糕的二分之一，我们还可以表示哪些物体的二分之一？有的学生说，可以表示1个苹果的二分之一;有的学生说可以表示1个饼干的二分之一;有的学生说可以表示1块面包的二分之一。教师总结道：“不管什么物体，只要是把这个物体平均分成2份，其中的1份就可以用二分之一表示。”

教学中，教师先从具体的蛋糕出发，引导学生通过对折的方法表示二分之一，然后进一步引导学生表示1个苹果的二分之一，1块饼干的二分之一，一个面包的二分之一，最后使学生摆脱具体事物的束缚，从中抽象出二分之一的本质，完成分数的建构，凸显出数学抽象能力在概念建构中的作用。

2. 在探索规律中，感悟数学抽象的价值

小学数学教学具有双重任务，一是传授学生必要的知识和技能，二是在探索数学规律中培养学生的数学思维。数学规律隐匿于知识的背后，具有很强的抽象性，探索数学规律离不开学生的抽象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。在很多情况下，对数学规律的探索往往是通过数学实验的方式展开的[2]。

比如，讲到“三角形具有稳定性”时，教师引导学生用拼接条组成三角形，通过拉动实验充分验证了三角形的稳定性。在此基础上，教师又设计了这样的教学环节：

师：为了使某个多边形不变形，至少需要添加几根拼接条？请同学们拼一拼、画一画。完成表1。

生1：如果要使四边形不变形，至少需要加1根拼接条（如图1）。

生2：如果要使五边形不变形，至少需要加2根拼接条（如图2）。

生3：如果要使六边形不变形，至少需要加3根拼接条（如图3）。

师：说一说，你发现了什么？

生4：我发现，多边形每增加1条边，至少需要添加的拼接条的数量也增加1根。

生5：我发现，至少添加的拼接条的数量比多边形的边数少3，比如，四边形对应的是1根，五边形对应的是2根，六边形对应的是3根……

师：同学们推测一下，要使七边形不变形，至少需要添加几根拼接条？八边形呢？

生6：七边形至少需要添加7-3=4（根），八边形至少需要添加8-3=5（根）。

师：你发现了什么规律？

生7：多边形的边数-3=至少添加拼接条的数量。

课堂上，教师不能只教给学生规律性的知识，更为重要的是要引导学生用数学的思维来探索规律。教学中，教师通过数学实验，引导学生探索多边形边数与至少添加的拼接条数量之间的关系，学生在实验中以四边形、五边形、六边形为例发现、验证了其中的规律，并通过数学抽象将这种规律推而广之，由此在获得真知的同时，感悟到了数学抽象能力在规律探索中的价值。

[?]二、顺应思维规律，引导学生参与数学抽象过程

小学生正处于形象思维向抽象思维过渡的关键阶段，通过数学实验引导学生感知实验工具和器材，刺激大脑进行思考、分析、比较、抽象与概括，有利于发展学生的抽象思维[3]。

1. 操作活动，诱发数学抽象思维

操作是智力的源泉，是思维的起点。正可谓动手启迪心智，操作拓展思维。数学实验中的操作活动应该是有目的、有意义的操作活动，能够使学生在实验中手脑并用，诱发学生的抽象思维。

比如，在“三角形的内角和”的教学中，教师出示一个钉子板上的三角形，引导学生拉动A点，完成以下任务：①∠1、∠2都变大;②∠1、∠2、∠3都变大。通过拉动钉子板上的三角形A点，学生发现只要把A点向上拉，就能够使∠1、∠2都变大，但是当∠1、∠2都变大时，∠3就会变小，无论怎样拉动三角形，都不能使∠1、∠2、∠3都变大（如图4）。学生在观察和操作中调动了抽象思维，逐步感知到三角形的三个内角可能存在一定的关系，或者三角形的三个内角和是固定的。

教学中，教师通过引导学生拉动钉子板上的三角形，引导学生多种感官参与实验操作，从动作直观到视觉直观，在建立了丰富表象的基础上逐步引发抽象思考，进而得出对三角形内角和的猜想，由此为下一步的探究打下了基础。

2. 概括共同属性，巩固数学抽象思维

概括是抽象的进一步补充和发展，概括往往发生于抽象思维后，没有概括，抽象也就没有意义。在数学实验中，通过抽象和概括，可以把实验中获得的感性经验上升为理性认识，以使抽象思维的成果更加巩固。

比如，讲到“三角形三边关系”时，教师引导学生拿出两根长度不同的小棒，然后将其中的一根剪断，得到三根小棒。学生通过实验发现，如果剪断的是较短的那根小棒，那么三根小棒无法围成三角形;如果剪断的是较长的那根小棒，就可以围成三角形。教师问道：“怎样的三根小棒能够围成一个三角形？”学生回答道：“两边之和大于第三边时，能围成三角形。”一个学生拿起一根最长的小棒和一根稍短些的小棒质疑道：“这两根小棒的长度和明显大于最短的那根小棒，怎么还是不能围成三角形呢？”教师提示道：“判断三根小棒能否围成三角形，能不能只看一组？”学生分析后认为：“必须把小棒两两相加再和第三根小棒比较。”教师继续问道：“那应该怎样表达我们的结论呢？”学生回答：“任意两边之和都要比第三边长。”有学生补充道：“我认为只要两条较短的边加起来比最长的边长，就一定能够围成三角形。”

实验的过程是一个形象与抽象交织、观察与分析并存的过程。无论是实验前的猜想还是实验中的思考，抑或是实验后的概括，都能发展学生的抽象思维。教学中，教师引导学生概括实验结论，学生通过把实验中的感性认识和理性思考结合起来，从中剥离、抽象出经验和知识的共同本质，由此得出科学的实验结论。

总之，数学抽象是数学学科素养的核心内容之一，教学实践中，教师要发挥数学实验的独特优势，着眼于学科素养，遵循学生思维规律，引导学生在手脑并用中体验抽象思维的价值，参与抽象的过程，使学生的抽象思维真正得到发展。

参考文献：

[1]  张开雁. 为小学生的数学抽象搭“支架”[J]. 数学教学通讯，2021（01）：23-24.

[2]  刘满杰，李晓惠. 浅谈培养学生抽象思维能力的策略——以“乘法分配律”的教学为例[J]. 小学数学教育，2020（Z3）：42-43.

[3]  施玲. 小学生数学抽象思维素养的培养[J]. 福建基础教育研究，2020（06）：81-82.