数学教学中隐喻的运用
2016-02-23俞昕
俞昕
【摘要】隐喻是一个深层的认知机制，在数学教学过程中教师可以使用隐喻来让学生熟知一种新的数学对象.合理地运用数学术语、数学欣赏、数学抽象中的隐喻确实有助于学生的数学学习.但也要慎用隐喻，既要有“引进的情景化”（隐喻）又要有“提炼的去情景化”（数学化）.
【关键词】数学隐喻；数学术语；数学欣赏；数学抽象
1数学教学中的隐喻
现代认知理论视角下，隐喻是一个深层的认知机制.美国隐喻研究专家Lakoff & Johnson认为，“隐喻植根于经验知识之中，它们（至少部分地）形成了我们做什么、以及如何理解我们正在做的事情的一种结构.”Lakoff将隐喻解读为“用一种事物来理解另一种事物”.这也是目前绝大多数研究者对隐喻的认知功能所达成的共识.此时，“隐喻”特别需要和心理学中的“迁移”加以区分.首先，隐喻具有“A是B”的表达方式，这是它与迁移相区别的最明显标志.其次，“迁移”是指“一种学习对另一种学习的影响”，它通常发生在学习过程中的两种学习之间；而隐喻中的A、B却不一定都是学习过程中的概念或事物.比如“定义域是盛着点的容器”这个隐喻，“容器”并不是数学领域中的事物或概念，它甚至和学习没有什么必然联系.另外，迁移的实质是新旧经验的整合，整合可通过三种方式实现：同化、顺化和重组；而隐喻的目的是生动形象，深入浅出，把不知或难知的事物或概念等变得能知或易知，它不需将事物或概念等做任何改变[1].
个体的知识常常可以从他们所使用的隐喻中得到更好地理解.如Schon所指出，隐喻可以被看作理解“我们如何思考、如何认识现实的意义以及看待事物的观点或方法”的一种方式.Lakoff & Johnson也认为，“假如说我们的观念系统很大程度上是隐喻性质的，如果这是正确的话，那么我们的思考方式、我们的个人经历以及我们日常生活中的所作所为也就是一种隐喻.”有关教师知识专业发展的一些研究文献都支持这样的观点，即隐喻形成了教师思考方式和教学行为的结构，反映出教师关于教学实践的信念，并为课堂教学的过程提供了独特的意义，成为理解教师知识的一种手段.由此，有关文献也反映出学生对数学的隐喻反映出他们对数学的一种信念[2].
Lakoff & Johnson认为隐喻主要有三种：结构隐喻、方位隐喻及本体隐喻.结构隐喻：指用一种概念结构构造另一种概念.如争论是战争；你的争论是没有根据的；我推翻了他的观点.方位隐喻：指个体处于空间和方位的感觉而构成的隐喻.如上—下、里—外、深—浅，中心—外围等表达空间的具体概念，投射于人的情绪、身体状况、数量、社会地位等抽象概念上，而形成的一些用方位词表达的概念系统，如“Happy is up”、“他喝高了”.本体隐喻又可分为“实体和物质隐喻”和“容器隐喻”.“实体和物质隐喻”即通过物体和物质来理解人们的有关经验，从而使人们能把一部分经历作为一种同类的、可分离的物质来看待.“容器隐喻”指人是独立于周围世界以外的实体，每个人本身就是一个容器.人们将这种概念投射于人体以外的其它物体，如房子、丛林、田野、区域等，甚至将一些无形的、抽象的事件、行为、活动、状态也看作一个容器[2].
在数学教学过程中的隐喻是指教师用学生熟知的一种事物、数学对象及其特征说明另一种数学对象.结构实体隐喻指用学生熟知的数学对象或实体结构构造另一种数学对象.容器隐喻指使用数学熟知的个体或事物（包括数学对象）处于空间和方位的感觉而说明某一数学对象或其特征[3].
2高中数学教学中隐喻的合理运用
2.1数学术语的隐喻及其人文内涵
数学术语指的是指称或限定某类数学对象的字、词或词组.通常是用词语的一般意义隐喻其数学意义.在我们的数学教学中，教师可以针对某些学生不容易理解或容易理解错误的数学术语，对其的隐喻进行挖掘，便于学生辨析、理解数学概念.
比如“函数”一词，表面看是用“函”限定“数”.但其数学意义并不是指称数，也不是对数的限定.这一词汇是清代学者李善兰在1859年翻译Augustus Demorgan所著的《代数学原理》（The Elements of Algebra）一书时首次使用的数学术语.原书中“function”一词的解释为：“以任何方式包含x的表达式都是x的函数，所以a+x和a+bx2都是x的函数.”李善兰把“function”翻译为“函数”，解释为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.这一解释更接近李善兰翻译的另一本名为《代微积拾级》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus）的书中对“function”的定义：“当一个变量等于一个包含另一个变量的表达式的时候，第一个变量就叫做第二个变量的函数.”综上可以看出，李善兰用“函数”这个词汇的用意，其中的“数”是“变数”，也就是现在所说的“变量”，而“函”是包含的意思.二者组合在一起叫做“函数”，表达的就是“变量包含变量”的关系，比如“a+x”是一个变量，包含着变量“x”，那么“a+x”就是“x”的函数.所以“函数”指称的不是数，而是变量之间的包含关系，与当时人们对“函数”的认识是吻合的.现在数学中对函数的理解事实上已经发生了变化，是集合与集合之间的“对应”关系，而不仅仅是变量之间的“包含”关系了[4].
2.2数学欣赏中的隐喻
为了改变数学在学生心目中抽象枯燥的形象，数学教师可以通过挖掘数学欣赏中的隐喻使学生亲近数学.数学要在数量变化中寻求其中的不变因素.许多数学定理和数学运算律都是一种不变性的描述.李煜的词：“雕栏玉砌应犹在，只是朱颜改”约略反映了这种意境.如一元二次式的配方式ax2+bx+c=ax+b2a2+c-b24a.左右两端看上去不一致，但是彼此恒等.正如陆游咏梅诗所云：“零落成泥辗作尘，只有香如故”.尽管梅花已经碾作尘，依然保持着固有的香味.同样，数学恒等变换无论如何复杂，其值是永远不变的.这使我们想起崔护的诗《题都城南庄》：“去年今日此门中，人面桃花相映红.人面不知何处去，桃花依旧笑春风.”这首抒情诗非常优美.但是也可以从另外的角度去欣赏：人面可以隐去，桃花是不变的[5].用人面桃花的变与不变，分析“关系-映射-反演（RMI）”方法是合适的.比如为了求得S=7.292×33.2412.015，可以用对数计算法计算如下：（1）取对数lgS=lg7.292×33.2412.015=2lg7.29+13lg3.24-5lg12.01；（2）查表计算lgS=-4.4981；（3）取反对数S=0.0003149.几个式子的原来面貌已不复存在，剩下的只有桃花依然笑春风.尽管研究的数学对象已经通过映射变到另一个领域，已经面目全非了，但是我们所要求的结果，仍然没有变.等到反演回来，那株桃花依然在笑春风.
问题是数学的心脏.数学研究和学习需要解题，而解题过程需要反复思索，终于在某一时刻出现顿悟.
例如做一道几何题百思不得其解，突然添了一条辅助线，问题豁然开朗，欣喜万分.解一道不等式屡屡碰壁，突发一念，迎刃而解.这样的意境令人想起王国维借用宋词来描述的意境：昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路（晏殊《蝶恋花》）.衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴（柳永《蝶恋花》）.众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处（辛弃疾《青玉案》）.做学问，大抵都要经历这样的意境.不过，数学解题是“成本最低”的克服困难的学科.一个学生，如果没有经历过这样的意境，数学大概是学不好的了.用这样数学欣赏的方式来引导学生学习数学，学生会对数学学习有更深刻的认识、兴趣和信念.
2.3数学隐喻有助于学生逾越数学抽象的沟壑
隐喻是教师实践性知识的重要表征形式，它可以帮助学生更好地理解数学对象.文[2]通过对两位专家型数学教师课堂教学进行实录分析，得到专家型教师课堂教学隐喻语言使用的特点：教师课堂教学中两位教师多次使用隐喻，所用时间占课堂教学时间的15%左右，且以结构实体隐喻为主；隐喻语言主要出现在引入环节和探究新知环节，且以师生问答的形式呈现为主；概念教学使用范例进行隐喻教学，而程序教学中使用相似性材料进行隐喻教学.在概念性知识教学过程中，多使用与学生生活经验相关的范例——抽象对象隐喻，可以促进学生学习的积极性；在程序性知识教学过程中，多使用与所学对象具有相似性的教学材料，可以促进学生对操作性技能的理解.
高中数学中“充分条件”与“必要条件”一向是概念性知识中的教学难点，内容抽象、推理严谨、应用广泛，因此而难教难学，成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“坎”.下面的案例片段运用了抽象对象的隐喻使学生对抽象的数学概念有一个形象的理解.
事例1：小α又迟到了.老师对他说：“你真是的！”小α说：“都怪路上的景色太迷人.”老师说：“你太可爱了，只是迟到的理由不充分，下课后还是要劳驾你到办公室来一下！”
事例2：2007年3月29日胡锦涛总书记在考察北京奥运会工程建设时指出“营造积极的国际舆论环境，是成功举办奥运会的必要条件”.
教师：这些源于生活的“充分”、“必要”的词语，实际上都是数学中的两个重要概念，在数学中对其做了严密、清晰的定义！
“数学归纳法”与“二分法”属于操作性、程序性知识，在教学过程中教师多数使用类似的操作性、程序性材料来隐喻.数学归纳法的经典材料是“多米诺骨牌”.在“二分法”的教学中，常常见到教师创设商品“猜价格”游戏，每次猜后老师都会给出“多了”还是“少了”的提示，说高了的往低猜，说低了的往高猜，不断调整，逐步接近商品的真正价格，由此引入“二分法”.然后，以求一个具体方程的近似解为例，经历求近似解的过程，总结出“二分法”的一般程序.
3高中数学教学中隐喻的运用也存在弊端
我们必须得承认隐喻可以被比作一把双刃剑.在数学教学中要慎用，隐喻这种独特的、想象的结构可能在教学对话中被滥用，因为它比传统的教学需要给予更多的专注、个性化的脚手架和时间的投入.上述“二分法”的隐喻中，“猜价格”与“二分法”之间，除了“取中点”有点类似之外，现实情景与数学内容是两张皮.因为在“猜价格”情景里，学生见不到“连续函数”，见不到“闭区间端点的函数值异号”，见不到“函数零点”，见不到“方程”，见不到“方程的解”等等.到底是“猜价格”游戏不具有“二分法”的必要因素与必要形式，还是教学没有组织学生去建立“猜价格”游戏与用“函数的思想求解方程”的数学联系呢[6]？
罗增儒先生认为：是后者而不是前者，是教学只关注“引进的情景化”，缺失“提炼的去情景化”.下面是一个数学化的提练过程.
（1）设商品的价格为c元（常量），它在a元与b元之间（a
（2）取中点a+b2，若猜得高了，表明fa+b2>0，则在区间a，a+b2上再取中点；若猜得低了，表明fa+b2<0，则在区间a+b2，b上再取中点.
（3）以此类推，区间长度越来越小，也就是猜的价格越来越接近真实价格，所猜的价格就是方程f（x）=0解的近似值.猜对时就是方程f（x）=0的准确解.
（4）于是我们可以用不断取中点的方法来求方程f（x）=0的近似根，这就是“二分法”.
在这里，“猜价格”游戏成为了学生认识抽象数学模式的认知基础，学生也经历了一个从具体现实情景到抽象数学模式之间的“数化”提炼过程.因此，我们在运用隐喻时要时刻注意：缺乏直观的概念是盲目的，缺乏概念的直观是空虚的，数学教学既要有“引进的情景化”（隐喻）又要有“提炼的去情景化”（数学化）.
参考文献
[1]谢圣英，喻平.数学教育中的隐喻研究[J].数学教育学报，2013，22（2）：5-9.
[2]杨光伟，张波.小学生数学隐喻的研究[J].数学教育学报，2006，15（3）：60-63.
[3]叶立军，斯海霞.专家型教师数学课堂教学隐喻语言应用研究[J].数学教育学报，2013，22（1）：37-39.
[4]郜舒竹，张平仁，王智秋.数学术语的隐喻歧义及其人文内涵[J].课程·教材·教法，2011，31（2）：51-57.
[5]张奠宙.万变不离其中——数学欣赏：欣赏数学中的不变量与不变性质[J].高中数学教与学，2012（1）：1-3.
[6]罗增儒.“二分法”教学中的几个问题[J].数学教学，2013（3）：1-4.
