立足经验生长 实现解答自然

摘 要：本文以一道解析几何求定值问题为例，讲述例题讲解要立足学生的经验，从学生的最近发展区出发，让问题的解答过程流畅、自然，易于学生理解.

关键词：解析几何;经验;特例;最近发展区

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0089-03

解析几何为每年高考考查的热点内容，解析几何的大题基本上以准压轴题的形式出现，常与其他知识交汇命题，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力.由于解析几何大题涉及的知识面广、数学运算复杂等原因，导致学生在解答这类题时不知道从哪里下手.因此教师在讲解这类问题时一定要立足学生的经验，从学生最近发展区出发，使得问题的解答流畅、自然，易于学生理解.

1 例题呈现

例题 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为33，且椭圆C过点P1，233.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x=3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值.

以上是资料提供的解答过程，问题（1）比较基础，学生都能掌握.对于问题（2），学生看完答案以后都有着同样的疑问：我怎么就能想到去计算FA·FB呢？难道靠猜测吗？如果猜测错误，怎么办呢？

资料提供的解答是通过计算得到FA=-3km-1，2m，FB=2，3k+m，然后由FA·FB=0，得∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.这样的解答过程跳跃性很强，脱离学生的经验，未从学生的最近发展区出发，学生很难接受.为了易于学生理解，笔者在本例题第（2）问的讲解过程中进行了以下两种途径的尝试.

2 途径尝试

2.1 从特殊情况出发

根据题意从特殊情况出发得出一个值（此值一般就是定值），然后证明定值，即将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关.

②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+m，直线x=3与x轴交于点E，如图2所示.以下同资料提供的解答.

综上，∠AFB的大小为定值.

点评 处理问题（2）时，从直线l的斜率为0开始，此时的计算比较简单，通过计算得到所求角∠AFB=90°.这样给解答提供了方向，使得学生明白接下来只要证明当直线l的斜率存在且不为0时，能得到∠AFB=90°即可.可以通过计算FA·FB=0，得∠AFB=90°.也可以借助三角形相似证明.过点A作AH⊥x轴于点H，如图3所示.通过计算可得AH=2m，FE=2，HF=1+3km=m+3km，EB=3k+m.因为AHFE=HFEB=1m，所以

2.2 从问题结论出发

将要证明的结论用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.

点评 解法2的思维非常简单，因为要证明∠AFB的大小为定值，所以只需要根据已知条件计算出cos∠AFB的值为定值即可.

3 结论拓展

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x=a2c相交于点B，则∠AFB的大小为90°.

4 总结反思

4.1 夯实基础知识

平时的教学要立足于课本，强化基础知识.教师应从教材的例题和习题中寻找试题的“根”，加强基础知识的复习，要列出具有典型性和代表性的题目进行讲解分析和训练，而且还要进行一题多变的训练.通过对题目的式子、图形、条件、结论、表达方式等的变化转换，促进学生触类旁通，巩固基础知识.

4.2 强化通性通法

在数学教学中，重视通性通法的使用和理解，通过通性通法揭示问题的本质.只有真正重视通性通法教学，才能使得学生抓住数学问题的本质，学生的核心素养才能得到提高.如解法1中，从直线l的斜率为0时开始研究，这样便于学生理解.

4.3 反思解题过程

在日常的教学中教师要指导学生如何进行反思，帮助学生养成反思的习惯.教师可以和学生一起回忆问题的解答过程，找出问题所在，帮助学生分析不能顺利答题的原因，提出改进方法.教师要带领学生立足已有的经验，从他们的最近发展区出发，思考有没有更简洁、更佳的解决问题的途径.学生在教师的带领反思中领悟方法，学会真正的反思，养成反思的好习惯.在反思中提升自我，提高解题效率.

参考文献：

[1]姬彩生.高考数学圆锥曲线解题技巧研究[J].数理化解题研究，2022（10）：18-20.

[2] 金家慶.探究高中数学解题思路以及解题能力的训练[J].数理化解题研究，2022（12）：50-52.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：管良梁（1982.12-），男，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：2021年度合肥市教育科学规划课题“核心素养导向下的高中数学单元教学课例研究”（项目编号HJG21098）.