例析离心率问题

摘 要：本文将圆锥曲线的离心率问题按知识点进行分类，对同类型的题目给出了类似的、相对简单的解法，并进行了深层次的剖析，目的是使学生能迅速将问题归类、抓住关键，找到数学本源，从而由点到面突破，培养学生的数学核心素养.

关键词：离心率;范围;特殊三角形;平行四边形;圓

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0045-03

圆锥曲线离心率问题通常是指椭圆和双曲线的离心率问题，一般包含两类：一是求离心率值;二是求离心率的取值范围.求解离心率，一般是构造参数a，c或a，b等式或者不等式，找出它们的关系，从而计算.离心率问题难点不在求解，而在找等量关系或者不等量关系，也就是找出题目中的数学本源.如何能在最短的时间内，找到关系，最有效的办法是从数学本源出发，研究命题方向和结合的知识点，发现规律，探究方法，形成一系列解题策略.

1 特殊三角形与离心率

这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单.

例1 双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过点F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△F1AB是不以点F1为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于.

解析

因为顶点A，B在双曲线上，由双曲线的定义，可得到含四个参量的两个等式，结合等腰直角三角形这个条件，可以消掉两个参量，再利用Rt△F1BF2解出BF1，BF2的值.

2 平行四边形与离心率

与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形;另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.

例2 如图2，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，直线l1：y=-12x，直线l2：y=12x，P为椭圆上任意一点，过点P作PM//l1且与直线l2交于点M，作PN//l2交l1于点N，若PM2+PN2为定值，则椭圆的离心率为.

因为PM2+PN2是定值，而式子中的两个线段长度不好表示，所以可以利用平行四边形的对称性进行转化.点P在椭圆上，坐标满足椭圆方程，于是想到把定值转化成与点P坐标有关的量，代入椭圆方程，就找到了一个有关参数的等量关系.

3 圆与离心率

借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等.

例3 如图3，设点F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点.若PQ=OF，则C的离心率为.

解析 两圆的半径分别有参数a，c，找a，c的关系，只需找两圆的关系即可.解题方法可以用代数法也可用几何法，但几何法要相对简单.

4 变量的范围与离心率

该类题目通常是先给出标准方程中某个参数的范围，或者变量的范围，再结合具体图形的平行关系、共线关系、垂直关系等求离心率的取值范围.通常用代数法来求解.

例4 如图4，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e，F是Γ右焦点，点P是Γ上第一象限内任意一点，OQ=λOP（λ>0），FQ·OP=0，若λ

解析 已知参数λ

例5 如图5，存在第一象限的点M（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1a>0，b>0上，使得过点M且与椭圆在此点的切线x0xa2+y0yb2=1垂直的直线经过点N（c2，0），c为椭圆半焦距，则椭圆的离心率的取值范围是.

总之，对于比较复杂的离心率问题，找出等量关系或者不等关系是关键，通常会与很多知识结合起来，有时还涉及数形结合.对于一些常见公式，应该引导学生自主观察、独立思考，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，找出数学本源，从而更有效、简洁地解决它，培养学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]范军.圆锥曲线离心率的求法[J].数理天地（高中版），2020（10）：25-26.

[2] 吴一哲，韩天禧.例谈离心率的求法[J].新高考，2011（02）：31-33.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：金铁强（1973.7-），男，浙江省诸暨人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.