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例析离心率问题

2022-05-30金铁强

数理化解题研究·高中版 2022年8期
关键词:范围平行四边形

摘 要:本文将圆锥曲线的离心率问题按知识点进行分类,对同类型的题目给出了类似的、相对简单的解法,并进行了深层次的剖析,目的是使学生能迅速将问题归类、抓住关键,找到数学本源,从而由点到面突破,培养学生的数学核心素养.

关键词:离心率;范围;特殊三角形;平行四边形;圓

中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2022)22-0045-03

圆锥曲线离心率问题通常是指椭圆和双曲线的离心率问题,一般包含两类:一是求离心率值;二是求离心率的取值范围.求解离心率,一般是构造参数a,c或a,b等式或者不等式,找出它们的关系,从而计算.离心率问题难点不在求解,而在找等量关系或者不等量关系,也就是找出题目中的数学本源.如何能在最短的时间内,找到关系,最有效的办法是从数学本源出发,研究命题方向和结合的知识点,发现规律,探究方法,形成一系列解题策略.

1 特殊三角形与离心率

这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系,用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,解题方法可用代数法也可用几何法,通常数形结合,用几何法计算量较小,运算相对简单.

例1 双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F2的直线交双曲线的右支于A,B两点,若△F1AB是不以点F1为直角顶点的等腰直角三角形,则e2等于.

解析

因为顶点A,B在双曲线上,由双曲线的定义,可得到含四个参量的两个等式,结合等腰直角三角形这个条件,可以消掉两个参量,再利用Rt△F1BF2解出BF1,BF2的值.

2 平行四边形与离心率

与平行四边形结合的离心率问题一般有两类,一类是题目中存在四边形;另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.

例2 如图2,椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0,直线l1:y=-12x,直线l2:y=12x,P为椭圆上任意一点,过点P作PM//l1且与直线l2交于点M,作PN//l2交l1于点N,若PM2+PN2为定值,则椭圆的离心率为.

因为PM2+PN2是定值,而式子中的两个线段长度不好表示,所以可以利用平行四边形的对称性进行转化.点P在椭圆上,坐标满足椭圆方程,于是想到把定值转化成与点P坐标有关的量,代入椭圆方程,就找到了一个有关参数的等量关系.

3 圆与离心率

借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多,考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合,比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是90°,半径相等,圆与圆的位置关系等.

例3 如图3,设点F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若PQ=OF,则C的离心率为.

解析 两圆的半径分别有参数a,c,找a,c的关系,只需找两圆的关系即可.解题方法可以用代数法也可用几何法,但几何法要相对简单.

4 变量的范围与离心率

该类题目通常是先给出标准方程中某个参数的范围,或者变量的范围,再结合具体图形的平行关系、共线关系、垂直关系等求离心率的取值范围.通常用代数法来求解.

例4 如图4,椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e,F是Γ右焦点,点P是Γ上第一象限内任意一点,OQ=λOP(λ>0),FQ·OP=0,若λ

解析 已知参数λ

例5 如图5,存在第一象限的点M(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>0,b>0上,使得过点M且与椭圆在此点的切线x0xa2+y0yb2=1垂直的直线经过点N(c2,0),c为椭圆半焦距,则椭圆的离心率的取值范围是.

总之,对于比较复杂的离心率问题,找出等量关系或者不等关系是关键,通常会与很多知识结合起来,有时还涉及数形结合.对于一些常见公式,应该引导学生自主观察、独立思考,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,找出数学本源,从而更有效、简洁地解决它,培养学生的数学核心素养.

参考文献:

[1]范军.圆锥曲线离心率的求法[J].数理天地(高中版),2020(10):25-26.

[2] 吴一哲,韩天禧.例谈离心率的求法[J].新高考,2011(02):31-33.

[责任编辑:李 璟]

收稿日期:2022-05-05

作者简介:金铁强(1973.7-),男,浙江省诸暨人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.

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