“指对互化”妙解函数导数综合问题

摘 要：由于指数关系aN=b和对数关系logab=N是同一关系的不同表达形式，指数结构和对数结构相互转化不会改变题目中各个量之间关系的本质属性.本文在这一思想指导下，通过举例的方式说明“指对互化”妙解函数导数综合问题的策略.

关键词：指对互化;导数综合;函数综合

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0020-03

由于指数关系aN=b和对数关系logab=N是同一关系的不同表达形式，指数结构和对数结构相互转化不会改变题目中各个量之间关系的本质属性. 笔者在实践中发现，如果能够利用这一特性，在解决很多函数导数综合题目时可以起到“茅塞顿开”“豁然明朗”的神奇效果，现将它在几种题型中的应用举例如下：

1 “指對互化”巧转化，大小比较不再难

例1 （2020年高考数学课标Ⅲ卷理科）已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则 （）.

A.a

C.b

分析 因为log53，log85，log138∈（12，1），可以先比较它们与中间值34的大小，要比较log53与34的大小，只需比较3与534的大小，只需比较34与53的大小.

因为34<53，所以log53<34.

同理要比较log85与34的大小，只需比较5与834的大小，只需比较54与83的大小.

因为54>83，所以log85>34.

同理可得log138>34.

于是log53

再比较log85，log138与45的大小，同理可得log85<45且log138>45，于是log85

解法评述 这种解法抓住了指数关系aN=b和对数关系logab=N是同一关系的不同表达形式这一本质属性，充分利用logab=NaN=ba=b1N

，利用中间值搭台阶，将不好估值的对数式化为方便计算的指数式，思维简单巧妙触及对数概念本质，让人茅塞顿开.

2 “指对互化”妙分参，参数范围易求得

例2 （2020年新高考山东卷21题第（2）问）已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范围.

分析 不等式f（x）≥1等价于aex-1-lnx+lna≥1.

所以φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，φmax（x）=φ（1）=0，所以lna≥0，所以a≥1.

解法评述 由于不等式结构aex-1-lnx+lna≥1的复杂性，不太好分离参数，可以考虑将不等式进行简化，变不可分参为容易分参.这里利用“指对互化”，将不等式两边变形为同构函数φ[r（x）]≥

φ[m（x）]，再利用函数φ（x）的单调性，转化为r（x）≥m（x）问题，达到巧妙简化问题的目的.

例3 （2021年高考浙江卷22题第（2）问）设a，b为实数，且a>1，函数f（x）=ax-bx+e2.

解法评述 本题的难点在于分离参数难度非常困难，利用“指对互化”，构造同构函数t=xlna，整体换元后实现参数分离，达到简化问题的目的.

3 “指对互化”妙同构，不等证明变简单

例4 （2020年沈阳质量检测22第（3）问）已知函数f（x）=ex-1-x-ax2.若x>0，证明：（ex-1）ln（x+1）>x2.

解法评述 由于要证明的不等式结构（ex-1）·ln（x+1）>x2过于复杂，直接构造函数证明较为困难，需要对它进行简化，为了平衡不等式两边，这里做了适当变形得到ex-1x>xln（x+1），然后利用“指对互化”构造同构函数φ（x）=ex-1x或者φ（x）=x-1lnx，并利用其单调性成功转化为容易证明的问题.

知名作家豆豆在《遥远的救世主》一书中是这样解读“神”和“神话”的：“神就是道，道就是规律，规律如来，容不得你思议，规律办事的人就是神”“这个世上原本就没有神话，所谓的神话，不过是常人的思维所不易理解的平常事”，类似地，我们可以这样理解数学解题中的 “巧妙”与“神奇”，它不过是按照数学知识规律办事的平常思维罢了，之所以给我们“巧妙”与“神奇”的感觉，是因为我们对知识本质的理解不够深刻的缘故罢了，这就要求我们深度专研，尽可能理解知识的本质属性，并在实际解题中不断尝试去运用它，解题就变得“巧妙”而“神奇”起来了.

参考文献：

[1]刘海涛.例谈同源法构造函数在解题中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2020（09）：28-29.

[2] 王淼生.实施同构变换 构建同构函数 实现变量分离[J].中学数学杂志，2021（07）：30-32.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：赵英巵（1985.2-），女，重庆市合川人，中学一级教师，从事高中数学教学研究.