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聚焦函数零点分布的常见题型及求解策略

2022-05-30李波

数理化解题研究·高中版 2022年8期
关键词:数形结合

摘 要:函数零点是历年高考命题的重点,也是函数应用的基础,此内容可与多种函数及函数的图象、性质相结合,从近几年高考来看,零点问题与函数图象交汇在客观题、与导数结合在解答题中出现,是考查函数与方程、数形结合、转化与化归思想的重要载体.

关键词:常见函数;零点问题;数形结合;求解策略

中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2022)22-0008-05

1 回归定义,溯本求根

例1 已知定义在R上的函数f(x)=1|x-e|,x≠e,1,x=e, 若关于x的函数y=f 2(x)-mf(x)+m-1

例2 (2019年全国Ⅱ卷文)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,证明:

(1)f(x)存在唯一的极值点;

(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.

证明(1)函数f (x)的定义域为(0,+∞),导函数f ′(x)=lnx-1x,此时f ″(x)=1x+1x2>0,所以f ′(x)在(0,+∞)单调递增.

又f (x)在(0,x0)上单调递减,且1m∈(0,x0),所以f(x)=0有且仅有两个实根m,1m,且两个实根互为倒数.

评析求函数零点的常用方法:一是通过解对应方程,求实数解;二是通过作函数图象,利用数形结合求交点横坐标,但需要注意函数的定义域,分段函数的零点检验.

2 巧用对称,不攻自破

例3 (成都树德中学期末考试)已知x1是函数f(x)=xlog2x-2020的一个零点,x2是函数g(x)=x·2x-2020的一个零点,则x1x2的值为.

解析 令f(x)=xlog2x-2020=0,得

评析 解决函数零点不可求的客观题时,要有二个意识:一是会转化,函数零点、方程的根、两个图象的交点三者之间等价转化;二是要有整体观,结合图象的表征深化到图象的对称性:中心对称、轴对称,奇函数或者偶函数的零点关于数轴原点对称,且所有零点之和等于0.

3 合理设参,统一变量

评析 将方程问题转化为图象的交点问题,数形结合找到参数的切入点,联立方程组,将多变量问题转化为单变量问题,方便在化简、求最值时使用均值不等式、配方、构造函数判断单调性、比较大小等,但要注意变形过程的等价性.

4 巧用模型,化动为静

例6 已知函数f(x)=|log3x|,03,若函数y=f(x)-m有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,满足x1

评析 依据题目条件准确画出函数图象,使复杂的代数问题变得形象直观,结合图象建立等量关系、不等关系,求得零点的分布.

5 数形结合,相得益彰

例7(2020年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f (x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直.

①若f (x)有一个零点,则方程-c=x3-34x有一个根x0,由图知c<-14或c>14,此时x0<-1或x0>1,绝对值大于1,不成立.

②若f (x)有两个零点,则方程-c=x3-34x有两个根x1,x2,由图知c=-14或14,此时两根分别为x1=-1,x2=1,绝对值等于1,成立.

③若f (x)有三个零点,则方程-c=x3-34x有三个根x4,x5,x6,由图知-14

综上所述,当f (x)有一个绝对值不大于1的零点时,f (x)所有零点的绝对值都不大于1.

评析 本题考查导数的几何意义、与零点有关的不等式证明,体现了数学运算、逻辑推理的核心素养.运用导数研究函数的零点或者方程的根,是高考热点问题,以函数的单调性为切入点,画出函数大致图象,以便确定函数零点的分布、最值情况,真正体现数形结合的灵活运用.

6 以退为进,海阔天空

例8 (2020年浙江卷)已知1

评析 本题给人以亲而不近之感,利用导数判断函数的单调性、零点个数,并将不等式的证明与零点的存在性定理完美结合,较好地考查了逻辑推理能力、转化与化归的思想.

7 反面入手,柳暗花明

例9 (2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

函数零点的分布是难点,也是近几年高考的热点,综合性很强,考法灵活多变,解题时应该避重就轻,避实就虚,不失为一种明智的策略,可以考虑以上7种策略.考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归数学思想,也是解题策略的优化与变通,更是“临渊羡鱼,不如退而结网”的人生境界.

参考文献:

[1] 谢新华.运用数学思想 探究函数零点个数问题[J].数理化解题研究,2021(01):29-30.

[責任编辑:李 璟]

收稿日期:2022-05-05

作者简介:李波(1991-),男,四川省仪陇人,本科,中学一级教师,从事中学数学教学研究.

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