破解含参不等式恒成立问题的三个妙招

刘玲玲

含参不等式恒成立问题一般较为复杂，通常要根据题意找到使不等式恒成立的条件，据此建立关系式，才能顺利求得问题的答案.此外，需灵活运用函数思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化思想来辅助解题.下面，笔者结合实例，探讨解答含参不等式恒成立问题的三个妙招.

一、分离参数

分离参数法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法.运用分离参数法求解含参不等式恒成立问题，需先将不等式变形，使得参数和变量分离，得到形如f（x）>a或f（x）min或a>f（x）_max，解该不等式，即可求得参数a的取值范围.此种方法一般适用于解答参数与变量易于分离的含参不等式恒成立问题.

要使不等式恒成立，需使a>（xlnx-x³）_max，

令g（x）=xlnx-x³，可得g′（x）=1+lnx-3x²，

所以g′（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以g′（x）

则g（x）在（1，+∞）上单调递减，

可得g（x）

二、变更主元

若已知含参不等式恒成立问题中参数的取值范围，则可运用变更主元法来解题.将已知取值范围的变量作为参数，将参数视为主元，通过变更主元，把问题转化为关于参数的不等式恒成立问题，进而根据已知变量的取值范围，求得参数的取值范围.

解：由于函数y=3^x是增函数，

设f（x）=x²+ax+2-2x-a+1，

贝当a∈[-1，1]时，f（a）>0，

解得x<0或x>2，

所以x的取值范围为x∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

将参数a视为主元，将变量X视为参数，通过变更主元，将问题转化為当a∈[-1，1]时，f（x）=x²+ax+2-2x-a+1>0恒成立的问题，然后利用二次函数的图象和性质，讨论当a∈[-1，1]时，a²+ax+2-2x- a+1=0的根的分布情况，建立新不等式，即可求得x的取值范围.运用主元变更法，能够使题目最终转化为解简单不等式的问题.

三、采用判别式法

例3.若对任意x∈R，不等式mx²+mx-4≤0恒成立，求实数m的取值范围.

解：①当m=0时，不等式可化为-4W0，该式对任意x∈R恒成立.

②当m≠0时，不等式为一元二次不等式，

设f（x）=mx²+mx-4，

要使f（x）≤0在x∈R上恒成立，

一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程之间的联系非常紧密.在解答含参二次不等式恒成立问题时，要学会结合二次函数图象和一元二次方程的根的判别式△，来建立不等关系式.

求解含参不等式恒成立问题，关键要抓住不等式的特点，对其进行合理的变形，如将参数、变量分离，将主元变更，构造一元二次方程，将问题进行合理的转化，灵活运用数学思想辅助解题.